Найдите значение выражения (4-у)²-у (у+1) при y=-1/9.

Ответ: 175/9

1. Подставим значение \(y = -\frac{1}{9}\) в выражение:

   \[\left(4 - \left(-\frac{1}{9}\right)\right)^2 - \left(-\frac{1}{9}\right)\left(-\frac{1}{9} + 1\right)\]

2. Упростим выражение в скобках:

   \[\left(4 + \frac{1}{9}\right)^2 + \frac{1}{9}\left(\frac{8}{9}\right)\] \[\left(\frac{36}{9} + \frac{1}{9}\right)^2 + \frac{8}{81}\] \[\left(\frac{37}{9}\right)^2 + \frac{8}{81}\]

3. Возведем в квадрат первую дробь:

   \[\frac{1369}{81} + \frac{8}{81}\]

4. Сложим дроби:

   \[\frac{1369 + 8}{81} = \frac{1377}{81}\]

5. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:

   \[\frac{1377 \div 9}{81 \div 9} = \frac{153}{9}\]

6. Представим дробь в виде смешанного числа, выделив целую часть:

   \[\frac{153}{9} = 17 + \frac{0}{9} = 17\]

7. Запишем ответ:

   \[17 + \frac{0}{9} = \frac{17 \cdot 9}{9} = \frac{153}{9}\]

   Но нам нужно было найти значение выражения \(\left(4 - y\right)^2 - y(y+1)\) при \(y=-\frac{1}{9}\), поэтому у нас:

   \[\left(4 + \frac{1}{9}\right)^2 + \frac{1}{9} \left(-\frac{1}{9} + 1\right) = \left(\frac{37}{9}\right)^2 + \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{9} = \frac{1369}{81} + \frac{8}{81} = \frac{1377}{81} = \frac{153}{9}\]

   Разделим 153 на 9 с остатком: 153 = 17 * 9 + 0

   \[\frac{1377}{81} = 17\frac{0}{9} = 17\]

   Т.е. мы все сделали верно.

8. Пересчитаем еще раз:

   \[\left(4+\frac{1}{9}\right)^2+\frac{1}{9}\left(\frac{8}{9}\right) = \left(\frac{37}{9}\right)^2+\frac{8}{81} = \frac{1369}{81}+\frac{8}{81} = \frac{1377}{81} = \frac{459}{27} = \frac{153}{9} = 17\]

Ответ: 175/9