Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Найдите значение выражения: a)√441 + 21 1 26 169; б) 0,25-64; B) 3√2 - √32 + 128; г) 1) √3-√48 + √72 √8 2. Сравните числа: 9 7 81 И 4 √128. a) 2x2 3. Решите уравнение: 6x = 0; в) 8х2 + 20x − 12 = 0; 4. Сократите дробь: 5x²+x-4 x²+x 5. Решите уравнение: 5x 20 4 x + 2 x² + 2x x 6) 3x² 24 = 0; г) х² 2x 15 = 0. 6. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ:
Краткое пояснение: Решаем задания на упрощение выражений, сравнение чисел, решение уравнений и задачу на движение.
1. Найдите значение выражения:
а) \[\frac{4}{21} \sqrt{441} + \frac{1}{26} \sqrt{169} = \frac{4}{21} \cdot 21 + \frac{1}{26} \cdot 13 = 4 + \frac{1}{2} = 4.5\]
б) \[\sqrt{0.25 \cdot 64} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 64} = \sqrt{16} = 4\]
в) \[\begin{aligned}
3\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{128} &= 3\sqrt{2} - \sqrt{16 \cdot 2} + \sqrt{64 \cdot 2} = \\
&= 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = (3 - 4 + 8) \sqrt{2} = 7\sqrt{2}
\end{aligned}\]
г) \[\sqrt{3} \cdot \sqrt{48} + \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}} = \sqrt{3 \cdot 48} + \sqrt{\frac{72}{8}} = \sqrt{144} + \sqrt{9} = 12 + 3 = 15\]
2. Сравните числа:
Преобразуем первое число:
\[9 \frac{7}{81} = 9 + \frac{7}{81} \approx 9.086\]
Преобразуем второе число:
\[\frac{1}{4} \sqrt{128} = \frac{1}{4} \sqrt{64 \cdot 2} = \frac{1}{4} \cdot 8 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828\]
Сравнение:
\[9 \frac{7}{81} > \frac{1}{4} \sqrt{128}\]
3. Решите уравнение:
а) \(2x^2 - 6x = 0\)
\[2x(x - 3) = 0\]
\[x_1 = 0, \quad x_2 = 3\]
в) \(8x^2 + 20x - 12 = 0\)
\[2(4x^2 + 10x - 6) = 0\]
\[4x^2 + 10x - 6 = 0\]
\[2x^2 + 5x - 3 = 0\]
\[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\]
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}\]
\[x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5, \quad x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3\]
б) \(3x^2 - 24 = 0\)
\[3x^2 = 24\]
\[x^2 = 8\]
\[x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\]
г) \(x^2 - 2x - 15 = 0\)
\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\]
\[x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2}\]
\[x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]
4. Сократите дробь:
\[\frac{5x^2 + x - 4}{x^2 + x}\]
Разложим числитель на множители:
\[5x^2 + x - 4 = 0\]
\[D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81\]
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 9}{10}\]
\[x_1 = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \quad x_2 = \frac{-1 - 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1\]
\[5(x - \frac{4}{5})(x + 1) = (5x - 4)(x + 1)\]
Разложим знаменатель на множители:
\[x^2 + x = x(x + 1)\]
Сократим дробь:
\[\frac{(5x - 4)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{5x - 4}{x}\]
5. Решите уравнение:
\[\frac{5x}{x + 2} - \frac{20}{x^2 + 2x} = \frac{4}{x}\]
Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{5x \cdot x}{x(x + 2)} - \frac{20}{x(x + 2)} = \frac{4(x + 2)}{x(x + 2)}\]
\[\frac{5x^2 - 20}{x(x + 2)} = \frac{4x + 8}{x(x + 2)}\]
Умножим обе части на знаменатель:
\[5x^2 - 20 = 4x + 8\]
\[5x^2 - 4x - 28 = 0\]
Найдем дискриминант:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-28) = 16 + 560 = 576\]
Найдем корни:
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 24}{10}\]
\[x_1 = \frac{4 + 24}{10} = \frac{28}{10} = 2.8, \quad x_2 = \frac{4 - 24}{10} = \frac{-20}{10} = -2\]
Проверим корни. Корень \(x = -2\) не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.
Ответ:
\[x = 2.8\]
6. Задача на движение:
Пусть \(v\) км/ч - скорость лодки в неподвижной воде.
Тогда скорость лодки против течения: \((v - 3)\) км/ч.
Скорость лодки по течению: \((v + 3)\) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения: \(\frac{72}{v - 3}\) ч.
Время, затраченное на путь по течению: \(\frac{72}{v + 3}\) ч.
Из условия задачи известно, что время на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:
\[\frac{72}{v - 3} - \frac{72}{v + 3} = 2\]
Решим уравнение:
\[\frac{72(v + 3) - 72(v - 3)}{(v - 3)(v + 3)} = 2\]
\[\frac{72v + 216 - 72v + 216}{v^2 - 9} = 2\]
\[\frac{432}{v^2 - 9} = 2\]
\[432 = 2(v^2 - 9)\]
\[432 = 2v^2 - 18\]
\[2v^2 = 450\]
\[v^2 = 225\]
\[v = \pm \sqrt{225} = \pm 15\]
Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 15\) км/ч.
Ответ: 1. a) 4.5, б) 4, в) \(7\sqrt{2}\), г) 15; 2. \(9 \frac{7}{81} > \frac{1}{4} \sqrt{128}\); 3. а) 0, 3; в) 0.5, -3; б) \(\pm 2\sqrt{2}\); г) 5, -3; 4. \(\frac{5x - 4}{x}\); 5. 2.8; 6. 15 км/ч
