1) найдите значение выражения: a) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2};\) б) \(x_1^2 + x_2^2;\) в) \((x_1 - x_2)^2;\) г) \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1};\) д) \(x_1^3 + x_2^3;\) 2) запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа \(\frac{1}{x_1}\) и \(\frac{1}{x_2}\).

Решение:

Пусть \(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения \(x^2 + 3x - 4 = 0\). По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = -3\]

\[x_1 \cdot x_2 = -4\]

1) Найдем значение выражения:

a) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)

б) \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-3)^2 - 2(-4) = 9 + 8 = 17\)

в) \((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-3)^2 - 4(-4) = 9 + 16 = 25\)

г) \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{17}{-4} = -\frac{17}{4}\)

д) \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2) = (-3)((-3)^2 - 3(-4)) = (-3)(9 + 12) = (-3)(21) = -63\)

2) Запишем квадратное уравнение, корнями которого были бы числа \(\frac{1}{x_1}\) и \(\frac{1}{x_2}\).

Пусть \(y_1 = \frac{1}{x_1}\) и \(y_2 = \frac{1}{x_2}\) - корни нового квадратного уравнения. Тогда:

\[y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\]

\[y_1 \cdot y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}\]

Тогда квадратное уравнение имеет вид:

\[y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0\]

\[y^2 - \frac{3}{4}y - \frac{1}{4} = 0\]

Умножим на 4:

\[4y^2 - 3y - 1 = 0\]

Ответ:

1) a) \(\frac{3}{4}\); б) 17; в) 25; г) -\(\frac{17}{4}\); д) -63

2) \(4y^2 - 3y - 1 = 0\)

Отлично! Ты хорошо поработал, продолжай в том же духе и у тебя все получится!