668. Найдите значение выражения: a) \(\frac{xy}{x+y}\) при \(x=5+2\sqrt{6}\), \(y=5-2\sqrt{6}\); б) \(\frac{x^2+ y^2}{xy}\) при \(x = \sqrt{11}+\sqrt{3}\), \(y = \sqrt{11}-\sqrt{3}\).

Ответ (RU):

Решим предложенные задания.

1. а) \(\frac{xy}{x+y}\) при \(x=5+2\sqrt{6}\), \(y=5-2\sqrt{6}\)

   Подставим значения \(x\) и \(y\) в выражение:

   \(\frac{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}{(5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})}\)

   Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

   \(5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\)

   Упростим знаменатель:

   \(5 + 2\sqrt{6} + 5 - 2\sqrt{6} = 10\)

   Получаем:

   \(\frac{1}{10} = 0.1\)

2. б) \(\frac{x^2+ y^2}{xy}\) при \(x = \sqrt{11}+\sqrt{3}\), \(y = \sqrt{11}-\sqrt{3}\)

   Подставим значения \(x\) и \(y\) в выражение:

   \(\frac{(\sqrt{11}+\sqrt{3})^2 + (\sqrt{11}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3})}\)

   Упростим числитель, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

   \((\sqrt{11}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 + 2\sqrt{33} + 3 = 14 + 2\sqrt{33}\)

   \((\sqrt{11}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{11})^2 - 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 11 - 2\sqrt{33} + 3 = 14 - 2\sqrt{33}\)

   Сложим результаты:

   \(14 + 2\sqrt{33} + 14 - 2\sqrt{33} = 28\)

   Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

   \((\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8\)

   Получаем:

   \(\frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5\)

Ответ: а) 0.1; б) 3.5