Найдите значение выражения: a) $$\left(\frac{5}{6} + \frac{4}{9}\right) - \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{9};$$ б) $$\frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} + \left(3\frac{1}{3} - 2\frac{3}{5}\right) : \frac{7}{15}.$$

Решение:

а)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 18:

$$ \frac{5}{6} + \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18} + \frac{8}{18} = \frac{15+8}{18} = \frac{23}{18} $$

Теперь вычислим произведение дробей:

$$ \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{9} = \frac{5 \cdot 1}{6 \cdot 9} = \frac{5}{54} $$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$$ \frac{23}{18} - \frac{5}{54} $$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 54:

$$ \frac{23}{18} - \frac{5}{54} = \frac{23 \cdot 3}{18 \cdot 3} - \frac{5}{54} = \frac{69}{54} - \frac{5}{54} = \frac{69-5}{54} = \frac{64}{54} $$

Сократим дробь на 2:

$$ \frac{64}{54} = \frac{32}{27} $$

Выделим целую часть:

$$ \frac{32}{27} = 1\frac{5}{27} $$

Ответ: $$1\frac{5}{27}$$

б)

Вычислим произведение первых двух дробей:

$$ \frac{2}{8} \cdot \frac{8}{8} = \frac{2 \cdot 8}{8 \cdot 8} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} $$

Преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$$ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} $$ $$ 2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5} $$

Вычислим разность дробей в скобках. Приведем к общему знаменателю 15:

$$ \frac{10}{3} - \frac{13}{5} = \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{13 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{50}{15} - \frac{39}{15} = \frac{50-39}{15} = \frac{11}{15} $$

Выполним деление:

$$ \frac{11}{15} : \frac{7}{15} = \frac{11}{15} \cdot \frac{15}{7} = \frac{11 \cdot 15}{15 \cdot 7} = \frac{11}{7} $$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$$ \frac{1}{4} + \frac{11}{7} $$

Приведем к общему знаменателю 28:

$$ \frac{1}{4} + \frac{11}{7} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{11 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{7}{28} + \frac{44}{28} = \frac{7+44}{28} = \frac{51}{28} $$

Выделим целую часть:

$$ \frac{51}{28} = 1\frac{23}{28} $$

Ответ: $$1\frac{23}{28}$$