Найдите значение выражения: a) $$\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$$; в) $$\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$$; д) $$\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$$; б) $$\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$$; г) $$\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$$; е) $$\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$$; ж) $$\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$$; з) $$\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}$$

Разберем каждое выражение по отдельности:

1. а) $$\frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}}$$

   Сначала упростим числитель. Вспомним правило возведения степени в степень: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$. Тогда $$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$$.

   Теперь числитель: $$2^5 \cdot 2^{12}$$. Вспомним правило умножения степеней с одинаковым основанием: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$. Тогда $$2^5 \cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17}$$.

   Получаем: $$\frac{2^{17}}{2^{13}}$$. Вспомним правило деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$. Тогда $$\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4$$.

   И, наконец, $$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$$.

   Ответ: 16

2. в) $$\frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4}$$

   Сначала упростим числитель: $$(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$$.

   Теперь знаменатель: $$2^6 \cdot 4$$. Представим 4 как $$2^2$$. Тогда $$2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8$$.

   Получаем: $$\frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2$$.

   И, наконец, $$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$$.

   Ответ: 4

3. д) $$\frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9}$$

   Сначала упростим числитель: $$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$$.

   Теперь числитель: $$5^8 \cdot 25$$. Представим 25 как $$5^2$$. Тогда $$5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10}$$.

   Получаем: $$\frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5$$.

   Ответ: 5

4. б) $$\frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}}$$

   Сначала упростим числитель: $$(5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16}$$.

   Теперь числитель: $$5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23}$$.

   Получаем: $$\frac{5^{23}}{5^{22}} = 5^{23-22} = 5^1 = 5$$.

   Ответ: 5

5. г) $$\frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3}$$

   Представим 27 как $$3^3$$. Тогда числитель: $$3^7 \cdot 3^3 = 3^{7+3} = 3^{10}$$.

   Знаменатель: $$(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$$.

   Получаем: $$\frac{3^{10}}{3^{12}} = 3^{10-12} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$.

   Ответ: $$\frac{1}{9}$$

6. е) $$\frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2}$$

   Сначала упростим числитель: $$(7^3)^3 = 7^{3 \cdot 3} = 7^9$$.

   Теперь числитель: $$7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11}$$.

   Знаменатель: $$(7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10}$$.

   Получаем: $$\frac{7^{11}}{7^{10}} = 7^{11-10} = 7^1 = 7$$.

   Ответ: 7

7. ж) $$\frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9}$$

   Представим 27 как $$3^3$$, а 9 как $$3^2$$. Тогда числитель: $$3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}$$.

   Знаменатель: $$(3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12}$$. Теперь весь знаменатель: $$3^{12} \cdot 3^2 = 3^{12+2} = 3^{14}$$.

   Получаем: $$\frac{3^{14}}{3^{14}} = 1$$.

   Ответ: 1

8. з) $$\frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3}$$

   Сначала упростим числитель: $$(11^2)^3 = 11^{2 \cdot 3} = 11^6$$.

   Теперь знаменатель: $$11^2 \cdot 11^3 = 11^{2+3} = 11^5$$.

   Получаем: $$\frac{11^6}{11^5} = 11^{6-5} = 11^1 = 11$$.

   Ответ: 11