Найдите значение выражения: (J1H+ √6 5+√21 2 Запишите решение и ответ

Решение:

• Исходное выражение: \[\frac{\sqrt{14 + \sqrt{16}}\cdot \sqrt{2}}{5 + \sqrt{21}}\]
• Упростим \(\sqrt{16}\): \[\sqrt{16} = 4\]
• Подставим в выражение: \[\frac{\sqrt{14 + 4}\cdot \sqrt{2}}{5 + \sqrt{21}}\]
• Упростим \(\sqrt{14 + 4}\): \[\sqrt{14 + 4} = \sqrt{18}\]
• Разложим \(\sqrt{18}\) на множители: \[\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\]
• Подставим в выражение: \[\frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{5 + \sqrt{21}}\]
• Упростим числитель: \[3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 2 = 6\]
• Выражение примет вид: \[\frac{6}{5 + \sqrt{21}}\]
• Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(5 - \sqrt{21}\): \[\frac{6}{5 + \sqrt{21}} \cdot \frac{5 - \sqrt{21}}{5 - \sqrt{21}} = \frac{6(5 - \sqrt{21})}{(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21})}\]
• Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: \[(5 + \sqrt{21})(5 - \sqrt{21}) = 5^2 - (\sqrt{21})^2 = 25 - 21 = 4\]
• Выражение примет вид: \[\frac{6(5 - \sqrt{21})}{4}\]
• Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \[\frac{3(5 - \sqrt{21})}{2}\]
• Раскроем скобки в числителе: \[\frac{15 - 3\sqrt{21}}{2}\]

Ответ: \[\frac{15 - 3\sqrt{21}}{2}\]