7) Найдите значение выражения при х = √20 и у=19. x²y² + 4xy³ 12x²y · 3x x+4y

Найдем значение выражения при заданных значениях переменных.

1. Подставим значения х = √20 и у = 19 в выражение: $$ \frac{x^2y^2 + 4xy^3}{12x^2y} \cdot \frac{3x}{x+4y} = \frac{(\sqrt{20})^2 \cdot 19^2 + 4 \cdot \sqrt{20} \cdot 19^3}{12 \cdot (\sqrt{20})^2 \cdot 19} \cdot \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20} + 4 \cdot 19} $$

2. Упростим выражение: $$ = \frac{20 \cdot 361 + 4 \cdot \sqrt{20} \cdot 6859}{12 \cdot 20 \cdot 19} \cdot \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20} + 76} $$

$$ = \frac{7220 + 27436 \cdot \sqrt{20}}{4560} \cdot \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20} + 76} $$

$$ = \frac{7220 + 27436 \cdot \sqrt{20}}{4560} \cdot \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20} + 76} $$

$$ = \frac{4(1805 + 6859\sqrt{20})}{4560} \cdot \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20} + 76} = \frac{1805 + 6859\sqrt{20}}{1140} \cdot \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20} + 76} $$

$$ = \frac{(1805 + 6859\sqrt{20}) \cdot 3\sqrt{20}}{1140 \cdot (\sqrt{20} + 76)} $$

3. Преобразуем $$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2 \sqrt{5}$$

$$ = \frac{(1805 + 6859 \cdot 2\sqrt{5}) \cdot 3 \cdot 2\sqrt{5}}{1140 \cdot (2\sqrt{5} + 76)} $$

$$ = \frac{(1805 + 13718\sqrt{5}) \cdot 6\sqrt{5}}{1140 \cdot (2\sqrt{5} + 76)} $$

$$ = \frac{10830\sqrt{5} + 82308 \cdot 5}{2280\sqrt{5} + 86640} = \frac{10830\sqrt{5} + 411540}{2280\sqrt{5} + 86640} $$

$$= \frac{10\cdot (1083\sqrt{5} + 41154)}{10\cdot (228\sqrt{5} + 8664)} = \frac{1083\sqrt{5} + 41154}{228\sqrt{5} + 8664} $$

Упростим исходное выражение: $$ \frac{x^2y^2 + 4xy^3}{12x^2y} \cdot \frac{3x}{x+4y} = \frac{xy(x + 4y^2)}{12x^2y} \cdot \frac{3x}{x+4y} $$

$$ = \frac{x + 4y^2}{12x} \cdot \frac{3x}{x+4y} = \frac{3x(x + 4y^2)}{12x(x+4y)} = \frac{x + 4y^2}{4(x+4y)} $$

Подставим значения х = √20 и у = 19 в упрощенное выражение: $$ \frac{\sqrt{20} + 4 \cdot 19^2}{4(\sqrt{20} + 4 \cdot 19)} = \frac{\sqrt{20} + 4 \cdot 361}{4(\sqrt{20} + 76)} = \frac{\sqrt{20} + 1444}{4(\sqrt{20} + 76)} $$

$$ = \frac{2\sqrt{5} + 1444}{4(2\sqrt{5} + 76)} = \frac{2\sqrt{5} + 1444}{8\sqrt{5} + 304} = \frac{2(\sqrt{5} + 722)}{4(2\sqrt{5} + 76)} = \frac{\sqrt{5} + 722}{4\sqrt{5} + 152} $$

$$ = \frac{(\sqrt{5} + 722)(4\sqrt{5} - 152)}{(4\sqrt{5} + 152)(4\sqrt{5} - 152)} = \frac{4 \cdot 5 - 152\sqrt{5} + 2888\sqrt{5} - 722 \cdot 152}{16 \cdot 5 - 152^2} $$

$$ = \frac{20 + 2736\sqrt{5} - 109744}{80 - 23104} = \frac{-109724 + 2736\sqrt{5}}{-23024} = \frac{-4(27431 - 684\sqrt{5})}{-4 \cdot 5756} = \frac{27431 - 684\sqrt{5}}{5756} $$

$$=\frac{27431 - 684\sqrt{5}}{5756} $$

$$≈ 4.69 $$

Ответ: $$\frac{27431 - 684\sqrt{5}}{5756}$$ ≈ 4.7