Найдите значение x, при котором f(x) = 2x³ - 6x² - 48x имеет локальный максимум

Решение:

Чтобы найти локальный максимум функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и найти корни. Затем определить знак производной на интервалах.

1. Найдем производную функции \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 48x \):
   \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 48x) = 6x^2 - 12x - 48 \]
2. Приравняем производную к нулю:
   \[ 6x^2 - 12x - 48 = 0 \]
   Разделим уравнение на 6:
   \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
3. Найдем корни квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -8 \). Подбираем корни: \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \).
4. Определим знаки производной на интервалах:
• При \( x < -2 \), например, \( x = -3 \): \( f'(-3) = 6(-3)^2 - 12(-3) - 48 = 6(9) + 36 - 48 = 54 + 36 - 48 = 42 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -2 < x < 4 \), например, \( x = 0 \): \( f'(0) = 6(0)^2 - 12(0) - 48 = -48 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 4 \), например, \( x = 5 \): \( f'(5) = 6(5)^2 - 12(5) - 48 = 6(25) - 60 - 48 = 150 - 60 - 48 = 42 > 0 \) (функция возрастает).
5. Точка \( x = -2 \) является точкой локального максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Точка \( x = 4 \) является точкой локального минимума.

Ответ: -2