Найдите значение x, при котором f(x) = -x³ – 3x² + 9x имеет локальный максимум

Решение:

Для нахождения локального максимума функции \( f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x \) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

1. Найдем первую производную функции:
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x^2 + 9x) = -3x^2 - 6x + 9 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ -3x^2 - 6x + 9 = 0 \]
3. Разделим всё уравнение на -3:
   \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
4. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта. По теореме Виета:
   \[ x_1 + x_2 = -2 \]
   \( x_1 \cdot x_2 = -3 \)
   Находим корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).
5. Теперь нужно определить, в какой из этих точек функция имеет локальный максимум. Для этого найдём вторую производную:
   \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 6x + 9) = -6x - 6 \]
6. Проверим значение второй производной в критических точках:
   При \( x = 1 \): \( f''(1) = -6(1) - 6 = -12 \). Так как \( f''(1) < 0 \), в точке \( x = 1 \) функция имеет локальный максимум.
   При \( x = -3 \): \( f''(-3) = -6(-3) - 6 = 18 - 6 = 12 \). Так как \( f''(-3) > 0 \), в точке \( x = -3 \) функция имеет локальный минимум.

Ответ: 1