Найдите значения a и b, при которых для любых значений x верно равенство: а) \(\frac{3x}{x-2}-\frac{6x-1}{2x+1}=\frac{ax+b}{2x^2-3x-2}\); б) \(\frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}\).

а) Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{3x}{x-2}-\frac{6x-1}{2x+1}=\frac{3x(2x+1)-(6x-1)(x-2)}{(x-2)(2x+1)}.\]

Так как \((x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2\), числитель равен:

\[3x(2x+1)-(6x-1)(x-2)=6x^2+3x-(6x^2-13x+2)=16x-2.\]

Следовательно, \(ax+b=16x-2\), поэтому \(a=16\), \(b=-2\).

б) Приведём правую часть к общему знаменателю:

\[\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}=\frac{a(x+1)+b(x-1)}{x^2-1}=\frac{(a+b)x+(a-b)}{x^2-1}.\]

Сравнивая числители с единицей, получаем систему:

\[(a+b)x+(a-b)=1.\]

Значит, \(a+b=0\), \(a-b=1\). Отсюда \(a=\frac12\), \(b=-\frac12\).

Ответ: а) \(a=16,\ b=-2\); б) \(a=\frac12,\ b=-\frac12\).