1. Найдите значения неизвестной: a) sin(3x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2} б) cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2} в) tg (x-\frac{\pi}{3})=\sqrt{3} г) cos 3x=-\frac{5}{3} д) 2cos²x+cosx-1=0 e) sin²x-\sqrt{3}sinxcosx = 0

a) $$sin(3x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$3x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$

$$3x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$$

$$x=\frac{\pi}{12}+(-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$$

б) $$cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{2}$$

$$\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

$$x=\frac{3\pi}{4}\pm \pi + 6\pi n$$

$$x_1=\frac{3\pi}{4}+ \pi + 6\pi n = \frac{7\pi}{4}+6\pi n, n \in Z$$

$$x_2=\frac{3\pi}{4}- \pi + 6\pi n = -\frac{\pi}{4}+6\pi n, n \in Z$$

в) $$tg (x-\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}$$

$$x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$

$$x=\frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$

г) $$cos 3x=-\frac{5}{3}$$

Так как $$\left| cos \alpha \right| \le 1$$, то уравнение не имеет решения.

д) $$2cos^2x+cosx-1=0$$

Пусть $$cosx = t$$, тогда $$2t^2+t-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}$$

$$t_2=\frac{-1-3}{4}=-1$$

$$cosx=\frac{1}{2}$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z$$

$$cosx=-1$$

$$x=\pi +2\pi n, n \in Z$$

e) $$sin^2x-\sqrt{3}sinxcosx = 0$$

$$sinx(sinx-\sqrt{3}cosx) = 0$$

$$sinx = 0$$

$$x = \pi n, n \in Z$$

$$sinx-\sqrt{3}cosx = 0$$

$$sinx=\sqrt{3}cosx$$

$$\frac{sinx}{cosx}=\sqrt{3}$$

$$tg x = \sqrt{3}$$

$$x=\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$

Ответ: a) $$x=\frac{\pi}{12}+(-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z$$; б) $$x_1=\frac{7\pi}{4}+6\pi n, n \in Z$$, $$x_2=-\frac{\pi}{4}+6\pi n, n \in Z$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$; г) нет решения; д) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, n \in Z$$, $$x=\pi +2\pi n, n \in Z$$; е) $$x = \pi n, n \in Z$$, $$x=\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$$