805. Найдите значения переменной у, при которых: а) сумма дробей 6/у+1 и у/у-2 равна их произведению; б) сумма дробей 2/у-3 и 6/у+3 равна их частному; в) разность дробей у+12/у-4 и у/у+4 равна их произведению.

805. Решение: а) Сумма дробей равна их произведению, то есть: $$\frac{6}{y+1} + \frac{y}{y-2} = \frac{6}{y+1} \cdot \frac{y}{y-2}$$ $$\frac{6(y-2) + y(y+1)}{(y+1)(y-2)} = \frac{6y}{(y+1)(y-2)}$$ $$6y - 12 + y^2 + y = 6y$$ $$y^2 + y - 12 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: D = 1 - 4*(-12) = 1 + 48 = 49 y1 = (-1 + 7)/2 = 3 y2 = (-1 - 7)/2 = -4 Проверяем, что знаменатели не равны нулю при этих значениях y: y = 3: y+1 = 4, y-2 = 1 (не равно 0) y = -4: y+1 = -3, y-2 = -6 (не равно 0) Следовательно, y = 3 и y = -4 являются решениями. б) Сумма дробей равна их частному, то есть: $$\frac{2}{y-3} + \frac{6}{y+3} = \frac{2}{y-3} : \frac{6}{y+3}$$ $$\frac{2(y+3) + 6(y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2(y+3)}{6(y-3)}$$ $$\frac{2y+6+6y-18}{y^2-9} = \frac{y+3}{3(y-3)}$$ $$\frac{8y-12}{y^2-9} = \frac{y+3}{3(y-3)}$$ $$\frac{4(2y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{y+3}{3(y-3)}$$ Домножим обе части на 3(y-3)(y+3): $$12(2y-3) = (y+3)^2$$ $$24y - 36 = y^2 + 6y + 9$$ $$y^2 - 18y + 45 = 0$$ D = 324 - 4*45 = 324 - 180 = 144 y1 = (18 + 12)/2 = 15 y2 = (18 - 12)/2 = 3 Проверяем, что знаменатели не равны нулю при этих значениях y: y = 15: y-3 = 12, y+3 = 18 (не равно 0) y = 3: y-3 = 0 (равно 0) Следовательно, y = 15 является единственным решением. в) Разность дробей равна их произведению, то есть: $$\frac{y+12}{y-4} - \frac{y}{y+4} = \frac{y+12}{y-4} \cdot \frac{y}{y+4}$$ $$\frac{(y+12)(y+4) - y(y-4)}{(y-4)(y+4)} = \frac{y(y+12)}{(y-4)(y+4)}$$ $$y^2 + 16y + 48 - y^2 + 4y = y^2 + 12y$$ $$y^2 - 8y - 48 = 0$$ D = 64 - 4*(-48) = 64 + 192 = 256 y1 = (8 + 16)/2 = 12 y2 = (8 - 16)/2 = -4 Проверяем, что знаменатели не равны нулю при этих значениях y: y = 12: y-4 = 8, y+4 = 16 (не равно 0) y = -4: y-4 = -8, y+4 = 0 (равно 0) Следовательно, y = 12 является единственным решением. Ответ: а) y = 3, y = -4; б) y = 15; в) y = 12