Найдите значения выражений (21-22). a) 3 sin (2α - \frac{π}{4})+ 2 cos (3α – π), если а = \frac{π}{4}; б) sin² (α - \frac{π}{3})+3 tg (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{2}), если а = \frac{2π}{3}; в) 4 cos (3α - \frac{π}{6})+ ctg (α + \frac{π}{12}), если α= \frac{π}{6}; г) cos (α + \frac{π}{3}) tg² (2α + \frac{π}{2}), если а = -\frac{π}{6}.

Решим каждое из выражений, подставив заданное значение α.

1. a) 3 sin (2α - \frac{π}{4})+ 2 cos (3α – π), если а = \frac{π}{4};

Подставим значение α = \frac{π}{4} в выражение:

$$3 sin (2 \cdot \frac{π}{4} - \frac{π}{4}) + 2 cos (3 \cdot \frac{π}{4} – π) = 3 sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) + 2 cos (\frac{3π}{4} – π) =$$ $$= 3 sin (\frac{π}{4}) + 2 cos (\frac{3π}{4} – \frac{4π}{4}) = 3 sin (\frac{π}{4}) + 2 cos (-\frac{π}{4}) =$$ $$= 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$

1. б) sin² (α - \frac{π}{3})+3 tg (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{2}), если а = \frac{2π}{3};

Подставим значение α = \frac{2π}{3} в выражение:

$$sin^2 (\frac{2π}{3} - \frac{π}{3}) + 3 tg (\frac{5π}{4} - \frac{3π}{2}) = sin^2 (\frac{π}{3}) + 3 tg (\frac{5π}{4} - \frac{6π}{4}) =$$ $$= sin^2 (\frac{π}{3}) + 3 tg (-\frac{π}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 3 \cdot (-1) =$$ $$= \frac{3}{4} - 3 = \frac{3}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{9}{4} = -2.25$$

Ответ: -2.25

1. в) 4 cos (3α - \frac{π}{6})+ ctg (α + \frac{π}{12}), если α= \frac{π}{6};

Подставим значение α = \frac{π}{6} в выражение:

$$4 cos (3 \cdot \frac{π}{6} - \frac{π}{6})+ ctg (\frac{π}{6} + \frac{π}{12}) = 4 cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{6})+ ctg (\frac{2π}{12} + \frac{π}{12}) =$$ $$= 4 cos (\frac{3π}{6} - \frac{π}{6})+ ctg (\frac{3π}{12}) = 4 cos (\frac{2π}{6})+ ctg (\frac{π}{4}) =$$ $$= 4 cos (\frac{π}{3})+ ctg (\frac{π}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$$

Ответ: 3

1. г) cos (α + \frac{π}{3}) tg² (2α + \frac{π}{2}), если а = -\frac{π}{6}.

Подставим значение α = -\frac{π}{6} в выражение:

$$cos (-\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) tg^2 (2 \cdot (-\frac{π}{6}) + \frac{π}{2}) = cos (-\frac{π}{6} + \frac{2π}{6}) tg^2 (-\frac{π}{3} + \frac{π}{2}) =$$ $$= cos (\frac{π}{6}) tg^2 (-\frac{2π}{6} + \frac{3π}{6}) = cos (\frac{π}{6}) tg^2 (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 =$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{9} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{6}$$