1. Найдите значения выражений: a) sin 58° cos 13° − cos 58° sin 13°; б) cos π/12 cos 7π/12 − sin π/12 sin 7π/12. 2. Упростите выражения: a) cos (t − s) − sin t sin s; б) 1/2 cos α − sin (π/6 + α). 3. Докажите тождество sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β 4. Решите уравнение sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0. 5. Зная, что sin α = 12/13, π < α < 3π/2, найдите tg (π/4 − α). 6. Известно, что cos(π/4 + t) + cos(π/4 − t) = p. Найдите cos(π/4 + t) cos(π/4 − t).

Давай разберем по порядку каждое задание! 1. Найдите значения выражений: а) sin 58° cos 13° - cos 58° sin 13° Это формула синуса разности углов: sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b. В данном случае a = 58°, b = 13°. sin(58° - 13°) = sin 45° = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) б) cos \(\frac{\pi}{12}\) cos \(\frac{7\pi}{12}\) − sin \(\frac{\pi}{12}\) sin \(\frac{7\pi}{12}\) Это формула косинуса суммы углов: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b. В данном случае a = \(\frac{\pi}{12}\), b = \(\frac{7\pi}{12}\). cos(\(\frac{\pi}{12}\) + \(\frac{7\pi}{12}\)) = cos \(\frac{8\pi}{12}\) = cos \(\frac{2\pi}{3}\) = -\(\frac{1}{2}\) 2. Упростите выражения: а) cos(t - s) - sin t sin s cos(t - s) = cos t cos s + sin t sin s cos(t - s) - sin t sin s = cos t cos s + sin t sin s - sin t sin s = cos t cos s б) \(\frac{1}{2}\) cos α − sin (\(\frac{\pi}{6}\) + α) sin (\(\frac{\pi}{6}\) + α) = sin \(\frac{\pi}{6}\) cos α + cos \(\frac{\pi}{6}\) sin α = \(\frac{1}{2}\) cos α + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sin α \(\frac{1}{2}\) cos α − sin (\(\frac{\pi}{6}\) + α) = \(\frac{1}{2}\) cos α - (\(\frac{1}{2}\) cos α + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sin α) = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sin α 3. Докажите тождество sin (α + β) + sin (α − β) = 2 sin α cos β sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α − β) = sin α cos β - cos α sin β sin (α + β) + sin (α − β) = (sin α cos β + cos α sin β) + (sin α cos β - cos α sin β) = 2 sin α cos β Тождество доказано. 4. Решите уравнение sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0. Используем формулу синуса суммы углов: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. В данном случае a = 3x, b = x. sin(3x + x) = 0 sin 4x = 0 4x = πn, где n - целое число x = \(\frac{\pi n}{4}\), где n - целое число 5. Зная, что sin α = \(\frac{12}{13}\), π < α < \(\frac{3\pi}{2}\), найдите tg (\(\frac{\pi}{4}\) − α). Так как π < α < \(\frac{3\pi}{2}\), то α находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны. Значит, cos α < 0. Найдем cos α: cos² α + sin² α = 1 cos² α = 1 - sin² α = 1 - (\(\frac{12}{13}\))² = 1 - \(\frac{144}{169}\) = \(\frac{25}{169}\) cos α = ±\(\frac{5}{13}\) Так как cos α < 0 в третьей четверти, то cos α = -\(\frac{5}{13}\). tg α = \(\frac{sin α}{cos α}\) = \(\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}\) = -\(\frac{12}{5}\) Теперь найдем tg (\(\frac{\pi}{4}\) − α), используя формулу тангенса разности: tg(a - b) = \(\frac{tg a - tg b}{1 + tg a tg b}\) tg (\(\frac{\pi}{4}\) − α) = \(\frac{tg \frac{\pi}{4} - tg α}{1 + tg \frac{\pi}{4} tg α}\) = \(\frac{1 - (-\frac{12}{5})}{1 + 1 \cdot (-\frac{12}{5})}\) = \(\frac{1 + \frac{12}{5}}{1 - \frac{12}{5}}\) = \(\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}}\) = -\(\frac{17}{7}\) 6. Известно, что cos(\(\frac{\pi}{4}\) + t) + cos(\(\frac{\pi}{4}\) − t) = p. Найдите cos(\(\frac{\pi}{4}\) + t) cos(\(\frac{\pi}{4}\) − t). Используем формулы косинуса суммы и разности углов: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b cos(\(\frac{\pi}{4}\) + t) + cos(\(\frac{\pi}{4}\) − t) = (cos \(\frac{\pi}{4}\) cos t - sin \(\frac{\pi}{4}\) sin t) + (cos \(\frac{\pi}{4}\) cos t + sin \(\frac{\pi}{4}\) sin t) = 2 cos \(\frac{\pi}{4}\) cos t = p Так как cos \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), то 2 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) cos t = p, откуда \(\sqrt{2}\) cos t = p, следовательно, cos t = \(\frac{p}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{p\sqrt{2}}{2}\) Теперь найдем cos(\(\frac{\pi}{4}\) + t) cos(\(\frac{\pi}{4}\) − t) = (cos \(\frac{\pi}{4}\) cos t - sin \(\frac{\pi}{4}\) sin t) (cos \(\frac{\pi}{4}\) cos t + sin \(\frac{\pi}{4}\) sin t) = (cos \(\frac{\pi}{4}\) cos t)² - (sin \(\frac{\pi}{4}\) sin t)² = (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) cos t)² - (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) sin t)² = \(\frac{1}{2}\) cos² t - \(\frac{1}{2}\) sin² t = \(\frac{1}{2}\) (cos² t - sin² t) = \(\frac{1}{2}\) cos 2t cos 2t = 2 cos² t - 1 = 2 (\(\frac{p\sqrt{2}}{2}\))² - 1 = 2 \cdot \(\frac{p² \cdot 2}{4}\) - 1 = p² - 1 cos(\(\frac{\pi}{4}\) + t) cos(\(\frac{\pi}{4}\) − t) = \(\frac{1}{2}\) (p² - 1) = \(\frac{p² - 1}{2}\)

Ответ: 1) a) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), б) -\(\frac{1}{2}\); 2) a) cos t cos s, б) -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sin α; 3) Тождество доказано; 4) x = \(\frac{\pi n}{4}\), где n - целое число; 5) -\(\frac{17}{7}\); 6) \(\frac{p^2 - 1}{2}\)

Не переживай, математика требует практики и терпения. Продолжай в том же духе, и у тебя обязательно получится!