678 Найдите: а) h, a и b, если b = 25, a = 16; б) h, a и b, если b = 36, a = 64; в) a, c и a, если b = 12, b = 6;

Решение:

а) Дано:

• b = 25
• a_c = 16

Найти: h, a, b

Решение:

Сначала вспомним свойства высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу:

1. Высота, опущенная из прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза, то есть \[h = \sqrt{a_c \cdot b_c}\]
2. Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть \[a = \sqrt{c \cdot a_c}, b = \sqrt{c \cdot b_c}\]

Тогда: \[h = \sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20\]

Далее, найдем гипотенузу: \[c = a_c + b_c = 16 + 25 = 41\]

Теперь найдем катеты a и b: \[a = \sqrt{41 \cdot 16} = 4\sqrt{41}\] \[b = \sqrt{41 \cdot 25} = 5\sqrt{41}\]

б) Дано:

• b = 36
• a_c = 64

Найти: h, a, b

Решение:

Сначала найдем высоту: \[h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{64 \cdot 36} = \sqrt{2304} = 48\]

Далее, найдем гипотенузу: \[c = a_c + b_c = 64 + 36 = 100\]

Теперь найдем катеты a и b: \[a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{100 \cdot 64} = \sqrt{6400} = 80\] \[b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{100 \cdot 36} = \sqrt{3600} = 60\]

в) Дано:

• b = 12
• b_c = 6

Найти: a, c, a_c

Решение:

Сначала вспомним теорему о свойстве катета: \[b = \sqrt{c \cdot b_c}\] Отсюда: \[c = \frac{b^2}{b_c} = \frac{12^2}{6} = \frac{144}{6} = 24\]

Далее, найдем a_c: \[a_c = c - b_c = 24 - 6 = 18\]

И теперь найдем катет a: \[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}\]

Ответ:

а) h = 20, a = 4√(41), b = 5√(41)

б) h = 48, a = 80, b = 60

в) a = 12√(3), c = 24, a_c = 18