678 Найдите: a) h, a и b, если b = 25, а = 16; б) h, a и b, если b = 36, а = 64; в) а, с и ас, если b = 12, b = 6;

Решение:

a) Дано: $$b_c=25, a_c=16$$. Найти: h, a, b.

Решение:

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой, то есть $$h = \sqrt{b_c \cdot a_c}$$.

Найдем $$h = \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{400} = 20$$.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, то есть $$a = \sqrt{c \cdot a_c}, b = \sqrt{c \cdot b_c}$$.

Найдем гипотенузу $$c = b_c + a_c = 25+16 = 41$$.

Найдем $$a = \sqrt{41 \cdot 16} = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}$$.

Найдем $$b = \sqrt{41 \cdot 25} = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}$$.

Ответ: $$h = 20, a=4\sqrt{41}, b=5\sqrt{41}$$.

б) Дано: $$b_c=36, a_c=64$$. Найти: h, a, b.

Решение:

Найдем $$h = \sqrt{b_c \cdot a_c} = \sqrt{36 \cdot 64} = \sqrt{2304} = 48$$.

Найдем гипотенузу $$c = b_c + a_c = 36+64 = 100$$.

Найдем $$a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{100 \cdot 64} = \sqrt{6400} = 80$$.

Найдем $$b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{100 \cdot 36} = \sqrt{3600} = 60$$.

Ответ: $$h = 48, a=80, b=60$$.

в) Дано: b=12, $$b_c$$=6. Найти: а, с, $$a_c$$.

Решение:

$$b = \sqrt{c \cdot b_c}$$, отсюда $$c = \frac{b^2}{b_c}$$.

$$c = \frac{12^2}{6} = \frac{144}{6} = 24$$.

$$a_c = c - b_c = 24-6 = 18$$.

$$a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{24 \cdot 18} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$.

Ответ: $$a = 12\sqrt{3}, c=24, a_c = 18$$.