Найдите: а) h, a и b, если bc = 25, ac = 16; б) h, a и b, если bc = 36, ac = 64; в) a, c и ac, если b = 12, bc = 6;

Решение:

а) Дано: $$b_c = 25, a_c = 16$$. Найти: $$h, a, b$$.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$, где $$c$$ - гипотенуза.

Также, по теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = c^2$$.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу:

$$a^2 = c \cdot a_c$$, $$b^2 = c \cdot b_c$$.

Из данных равенств можно найти стороны $$a$$ и $$b$$:

$$a^2 = c \cdot a_c = c \cdot 16$$

$$b^2 = c \cdot b_c = c \cdot 25$$

Сложим эти равенства:

$$a^2 + b^2 = c \cdot 16 + c \cdot 25 = 41c$$

$$c^2 = 41c$$

$$c = 41$$

Теперь можно найти стороны $$a$$ и $$b$$:

$$a^2 = 16 \cdot 41 = 656$$

$$a = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}$$

$$b^2 = 25 \cdot 41 = 1025$$

$$b = \sqrt{1025} = 5\sqrt{41}$$

Найдём высоту $$h$$:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{41} \cdot 5\sqrt{41} = 10 \cdot 41 = 410$$

$$S = \frac{1}{2}ch$$

$$410 = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot h$$

$$h = \frac{2 \cdot 410}{41} = 20$$

Ответ: $$a = 4\sqrt{41}$$, $$b = 5\sqrt{41}$$, $$h = 20$$.

---

б) Дано: $$b_c = 36, a_c = 64$$. Найти: $$h, a, b$$.

Аналогично предыдущему пункту:

$$a^2 = c \cdot a_c = c \cdot 64$$

$$b^2 = c \cdot b_c = c \cdot 36$$

$$a^2 + b^2 = c \cdot 64 + c \cdot 36 = 100c$$

$$c^2 = 100c$$

$$c = 100$$

$$a^2 = 64 \cdot 100 = 6400$$

$$a = \sqrt{6400} = 80$$

$$b^2 = 36 \cdot 100 = 3600$$

$$b = \sqrt{3600} = 60$$

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 40 \cdot 60 = 2400$$

$$S = \frac{1}{2}ch$$

$$2400 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot h$$

$$h = \frac{2 \cdot 2400}{100} = 48$$

Ответ: $$a = 80$$, $$b = 60$$, $$h = 48$$.

---

в) Дано: $$b = 12, b_c = 6$$. Найти: $$a, c, a_c$$.

$$b^2 = c \cdot b_c$$

$$12^2 = c \cdot 6$$

$$144 = 6c$$

$$c = \frac{144}{6} = 24$$

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$a^2 + 12^2 = 24^2$$

$$a^2 = 24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$$

$$a = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$

$$b^2 = c \cdot b_c$$

$$a^2 = c \cdot a_c$$

$$432 = 24 \cdot a_c$$

$$a_c = \frac{432}{24} = 18$$

Ответ: $$a = 12\sqrt{3}$$, $$c = 24$$, $$a_c = 18$$.