Найти: ∠AOD, ∠ACD.

Пошаговое решение:

• Вписанный угол \( \angle ABC = 40^{\circ} \) опирается на дугу \( AC \). Центральный угол \( \angle AOC \), опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла, значит, \( \angle AOC = 40^{\circ} \cdot 2 = 80^{\circ} \).
• Сумма углов четырехугольника \( ABCD \) равна \( 360^{\circ} \). Так как \( ABCD \) вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна \( 180^{\circ} \).
• \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
• Вписанный угол \( \angle ADC \) опирается на дугу \( AC \). Центральный угол \( \angle AOC \), опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла, значит, \( \angle AOC = 140^{\circ} \cdot 2 = 280^{\circ} \).
• \( \angle AOD = 360^{\circ} - \angle AOC = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ} \).
• Рассмотрим треугольник \( \triangle AOC \). \( AO = OC \) как радиусы, значит, треугольник равнобедренный. \( \angle OAC = \angle OCA = (180^{\circ} - 80^{\circ}) : 2 = 50^{\circ} \).
• \( \angle ACD = \angle OCA = 50^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AOD = 280^{\circ} \), \( \angle ACD = 50^{\circ} \)