1) Найти: ∠CAD (рис. 4.142). 2) Найти: AD (рис. 4.143). 3) Дано: АС = DC = 4 (рис. 4.144). Найти: АВ. 4) Найти: MD (рис. 4.145). 5) В треугольнике АВС угол В тупой. Продолжения высот АА1, ВВ, СС, пересекаются в точке О, ∠AOC = 60°. Найти: ДАВС. 6) В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4АД. 7) В треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Ди Е соответственно, ∠EAD = 5°, LECD = 10°. Найти: ∠EDC.

Решение:

1) Найти: ∠CAD (рис. 4.142).

В прямоугольном треугольнике ABC известно, что BC = 8 и AC = 16. Значит, катет BC в два раза меньше гипотенузы AC, следовательно, угол BAC = 30°. Так как ∠BAD = 90°, то ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.

Ответ: ∠CAD = 60°.

2) Найти: AD (рис. 4.143).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\]

Ответ: AD = 5√5

3) Дано: АС = DC = 4 (рис. 4.144). Найти: АВ.

Треугольник ADC равнобедренный, углы при основании равны: ∠CAD = ∠CDA = (180° - 30°) / 2 = 75°.

Следовательно, ∠BAD = 90° - 75° = 15°.

Рассмотрим треугольник ABD. Тангенс угла BAD равен:

\[tg(15°) = \frac{BD}{AB}\]

Тангенс 15° можно выразить как tg(45°-30°), используя формулу тангенса разности:

\[tg(15°) = \frac{tg(45°) - tg(30°)}{1 + tg(45°) \cdot tg(30°)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = 2 - \sqrt{3}\]

Тогда AB = BD / tg(15°) = 4 / (2 - √3) = 4(2 + √3) = 8 + 4√3.

Ответ: AB = 4√3

4) Найти: MD (рис. 4.145).

В прямоугольном треугольнике ACD катет CD = 4, угол CAD = 30°. Следовательно, MD - медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

\[MD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}4 = 2\]

Ответ: MD = 2

5) В треугольнике АВС угол В тупой. Продолжения высот АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О, ∠AOC = 60°. Найти: ∠ABC.

Угол AOC и угол B - смежные. Сумма смежных углов составляет 180°:

\[∠ABC = 180° - ∠AOC = 180° - 60° = 120°\]

Ответ: ∠ABC = 120°

6) В треугольнике АВС ∠B = 90°, BD высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4АД.

Пусть BD = x, тогда AB = 2x.

По теореме Пифагора в треугольнике ABD:

\[AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = x\sqrt{3}\]

Так как BD - высота, то треугольник BDC тоже прямоугольный.

По определению синуса угла A:

\[sin A = \frac{BD}{AB} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\]

Следовательно, ∠A = 30°.

Тогда ∠C = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

По определению косинуса угла C:

\[cos C = \frac{BC}{AC}\]

\[AC = \frac{BC}{cos C} = \frac{BC}{cos 60°} = \frac{BC}{1/2} = 2BC\]

В прямоугольном треугольнике BDC:

\[BC = \frac{BD}{sin C} = \frac{x}{sin 60°} = \frac{x}{\sqrt{3}/2} = \frac{2x}{\sqrt{3}}\]

Следовательно:

\[AC = 2BC = 2 \cdot \frac{2x}{\sqrt{3}} = \frac{4x}{\sqrt{3}}\]

Таким образом:

\[3AC = 3 \cdot \frac{4x}{\sqrt{3}} = \frac{12x}{\sqrt{3}} = 4x\sqrt{3} = 4AD\]

Доказано, что 3AC = 4AD.

7) В треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Ди Е соответственно, ∠EAD = 5°, ∠ECD = 10°. Найти: ∠EDC.

В треугольнике ABC, ∠A = 180° - 90° - 40° = 50°.

Следовательно, ∠DAC = ∠A - ∠EAD = 50° - 5° = 45°.

В треугольнике ADC, ∠ADC = 180° - 90° - 45° = 45°.

Значит, ∠EDC = ∠ADC = 45°.

Ответ: ∠EDC = 45°

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке