Найти: ∠ABC.

Решение:

Нам дан треугольник ABC, в котором пересекаются отрезки AO и CO. Угол ∠AOC = 130°. Также известно, что ∠BAC разделен на два равных угла, и ∠BCA разделен на два равных угла. Это означает, что AO и CO являются биссектрисами углов ∠BAC и ∠BCA соответственно.

1. В треугольнике AOC сумма углов равна 180°. Мы знаем ∠AOC = 130°. Поэтому сумма углов ∠OAC + ∠OCA = 180° - 130° = 50°.
2. Так как AO — биссектриса ∠BAC, то ∠BAC = 2 * ∠OAC.
3. Так как CO — биссектриса ∠BCA, то ∠BCA = 2 * ∠OCA.
4. Сумма углов ∠BAC и ∠BCA равна: 2 * ∠OAC + 2 * ∠OCA = 2 * (∠OAC + ∠OCA) = 2 * 50° = 100°.
5. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
6. ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.
7. Мы знаем, что ∠BAC + ∠BCA = 100°.
8. Следовательно, ∠ABC + 100° = 180°.
9. Вычислим ∠ABC: ∠ABC = 180° - 100° = 80°.

Ответ: ∠ABC = 80°.