Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Чтобы найти абсциссу точки пересечения графиков функций, нужно приравнять их значения: \( f(x) = g(x) \).
Сначала упростим функцию \( f(x) \):
\[ f(x) = \log_{5} \left( \frac{x-9}{x-5} \right) - \log_{5} 2 = \log_{5} \left( \frac{x-9}{2(x-5)} \right) \]Теперь запишем функцию \( g(x) \) в виде логарифма:
\[ g(x) = 1 - \log_{5} (x^2 - 17x + 60) = \log_{5} 5 - \log_{5} (x^2 - 17x + 60) = \log_{5} \left( \frac{5}{x^2 - 17x + 60} \right) \]Приравниваем упрощённые функции:
\[ \log_{5} \left( \frac{x-9}{2(x-5)} \right) = \log_{5} \left( \frac{5}{x^2 - 17x + 60} \right) \]Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
\[ \frac{x-9}{2(x-5)} = \frac{5}{x^2 - 17x + 60} \]Для решения этого уравнения, домножим обе стороны на знаменатели:
\[ (x-9)(x^2 - 17x + 60) = 5 · 2(x-5) \]Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 - 17x + 60 \) на множители. Найдём корни уравнения \( x^2 - 17x + 60 = 0 \) по теореме Виета:
\( x_1 + x_2 = 17 \), \( x_1 · x_2 = 60 \). Корни: 12 и 5. Значит, \( x^2 - 17x + 60 = (x-12)(x-5) \).
Подставим это в уравнение:
\[ (x-9)(x-12)(x-5) = 10(x-5) \]Перенесём всё в одну сторону:
\[ (x-9)(x-12)(x-5) - 10(x-5) = 0 \]Вынесем общий множитель \( (x-5) \):
\[ (x-5) [ (x-9)(x-12) - 10 ] = 0 \]Раскроем скобки во втором множителе:
\[ (x-5) [ x^2 - 12x - 9x + 108 - 10 ] = 0 \] \[ (x-5) [ x^2 - 21x + 98 ] = 0 \]Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 21x + 98 = 0 \). Найдём дискриминант:
\[ D = (-21)^2 - 4 · 1 · 98 = 441 - 392 = 49 \]Найдём корни:
\[ x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{21 \pm 7}{2} \]\( x_1 = \frac{21 + 7}{2} = \frac{28}{2} = 14 \) \( x_2 = \frac{21 - 7}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
Таким образом, мы получили три возможных значения \( x \): 5, 7, 14.
Теперь нужно проверить область допустимых значений (ОДЗ) для исходных логарифмических функций.
Для \( f(x) = \log_{5} \left( \frac{x-9}{x-5} \right) - \log_{5} 2 \):
- \( \frac{x-9}{x-5} > 0 \). Это выполняется, когда \( x < 5 \) или \( x > 9 \).
- \( x-5 e 0 \), значит \( x e 5 \).
Для \( g(x) = 1 - \log_{5} (x^2 - 17x + 60) \):
- \( x^2 - 17x + 60 > 0 \). Как мы нашли ранее, \( (x-12)(x-5) > 0 \). Это выполняется, когда \( x < 5 \) или \( x > 12 \).
Объединяя условия ОДЗ:
- \( x < 5 \)
- \( x > 9 \) И \( x > 12 \) => \( x > 12 \)
Итак, ОДЗ: \( x < 5 \) или \( x > 12 \).
Проверим найденные корни:
- \( x = 5 \) — не входит в ОДЗ.
- \( x = 7 \) — не входит в ОДЗ.
- \( x = 14 \) — входит в ОДЗ (14 > 12).
Следовательно, точка пересечения графиков существует при \( x = 14 \).
Ответ: 14.
