4. Найти: <B, <C 5. Найти: СЕ, PC 6. Найти: CA1 7. Найти: <MCA 8. Найти: <A, ∠ABC

4. Найти: ∠B, ∠C

В треугольнике ACD:

• ∠ADC = 90° (так как CD - высота)
• AD = CD = 3.5 (дано)

Следовательно, треугольник ACD - равнобедренный прямоугольный, и ∠DAC = ∠DCA = 45°.

В треугольнике ABC:

• AC = 7
• AD = 3.5
• BD = 7

Треугольник ABC - равнобедренный (AB = AC = 7), значит, ∠BAC = ∠BCA

∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = ∠BAD + 45°

Пусть ∠ABC = x, тогда ∠BAC = x. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°:

x + x + 45° = 180°

2x = 135°

x = 67.5°

Следовательно, ∠ABC = 67.5°, ∠ACB = 67.5°

5. Найти: CE, PC

В треугольнике KEC:

• ∠KCE = 90° (так как KC - высота)
• KE = 9 (дано)

В треугольнике PKC:

• ∠CPK = 150° (дано)

∠PCE = 180° - ∠CPK = 180° - 150° = 30°

В прямоугольном треугольнике KEC:

∠KEC = 90° - ∠CKE

Сумма углов треугольника равна 180 градусов => ∠CKE = 60°

Катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы => СE = 4.5

В треугольнике PKC:

Сумма углов треугольника равна 180 градусов => ∠CKP = 0°

Такого треугольника не существует

6. Найти: CA₁

В треугольнике ABC:

• ∠ABC = 150°
• AA₁ = 20

∠CBA₁ = 180 - ∠ABC = 180 - 150 = 30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACA₁.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы => AA₁ = 2 * CA₁

2 * CA₁ = 20

CA₁ = 10

7. Найти: ∠MCA

В треугольнике ABC:

• ∠ABC = 70°
• AM = MC
• BM = MA

Треугольник ABM - равнобедренный (BM = MA), значит, ∠MBA = ∠MAB

∠MBA = ∠MAB = 70°

∠BMA = 180° - ∠MBA - ∠MAB = 180° - 70° - 70° = 40°

Треугольник CMA - равнобедренный (AM = MC), значит, ∠MAC = ∠MCA

∠BAM + ∠CAM = 70°

∠CAM = 70° - ∠BAM = 70 - 70 = 0°

Следовательно, ∠MCA = 0°

8. Найти: ∠A, ∠ABC

В треугольнике ABC:

• AD = BD
• BD = CD
• ∠ACD = 25°

Так как AD = BD = CD, то точка D - центр описанной окружности треугольника ABC, а AC - диаметр этой окружности.

Следовательно, ∠ABC - прямой (опирается на диаметр), и ∠ABC = 90°

Треугольник BDC - равнобедренный (BD = CD), значит, ∠DBC = ∠DCB = 25°

∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 90° - 25° = 65°

Треугольник ABD - равнобедренный (AD = BD), значит, ∠DAB = ∠DBA = 65°

∠BAC = 65°

Ответ: ∠B = 67.5°, ∠C = 67.5°, CE = 4.5, CA₁ = 10, ∠MCA = 0°, ∠A = 65°, ∠ABC = 90°