Найти: ∠BOC.

Решение:

Дано: \( AB \) и \( AC \) — касательные; \( \angle A = 60^{\circ} \).

Найти: \( \angle BOC \).

Так как \( AB \) и \( AC \) — касательные, проведенные из одной точки \( A \) к окружности, то отрезки \( AB \) и \( AC \) равны: \( AB = AC \).

Также, радиусы \( OB \) и \( OC \) перпендикулярны касательным в точках касания, то есть \( \angle OBA = 90^{\circ} \) и \( \angle OCA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник \( ABOC \). Сумма его углов равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle BAC + \angle OBA + \angle BOC + \angle OCA = 360^{\circ} \)

\( 60^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BOC + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( 240^{\circ} + \angle BOC = 360^{\circ} \)

\( \angle BOC = 360^{\circ} - 240^{\circ} \)

\( \angle BOC = 120^{\circ} \).

Ответ: ∠BOC = 120°.