Найти частные производные второго порядка функции двух переменных z = (6 + 1)x^9 sin 7y

Решение:

Для начала упростим функцию: \( z = 7x^9 \sin 7y \).

Найдем частные производные первого порядка:

\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (7x^9 \sin 7y) = 7 \cdot 9x^8 \sin 7y = 63x^8 \sin 7y \)

\( \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (7x^9 \sin 7y) = 7x^9 \cdot (\cos 7y \cdot 7) = 49x^9 \cos 7y \)

Теперь найдем частные производные второго порядка:

\( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (63x^8 \sin 7y) = 63 \cdot 8x^7 \sin 7y = 504x^7 \sin 7y \)

\( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (49x^9 \cos 7y) = 49x^9 \cdot (-\sin 7y \cdot 7) = -343x^9 \sin 7y \)

Смешанные частные производные второго порядка:

\( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (63x^8 \sin 7y) = 63x^8 \cdot (\cos 7y \cdot 7) = 441x^8 \cos 7y \)

\( \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (49x^9 \cos 7y) = 49 \cdot 9x^8 \cos 7y = 441x^8 \cos 7y \)

Обратите внимание, что смешанные частные производные равны, как и должно быть для данной функции.

Ответ:

• \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 504x^7 \sin 7y \)
• \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -343x^9 \sin 7y \)
• \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 441x^8 \cos 7y \)