11.85. Найти число, которое, будучи сложено со своим квадратом, дает наименьшую сумму. 11.86. Какое положительное число, будучи сложено с обратным числом, дает наименьшую сумму?

Задание 11.85

Пошаговое решение:

• Обозначим искомое число за \( x \). Тогда сумма числа и его квадрата выражается функцией \( f(x) = x + x^2 \).
• Чтобы найти наименьшее значение этой функции, найдем её производную: \( f'(x) = 1 + 2x \).
• Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( 1 + 2x = 0 \), откуда \( x = -\frac{1}{2} \).
• Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную: \( f''(x) = 2 \). Так как \( f''(-\frac{1}{2}) = 2 > 0 \), то \( x = -\frac{1}{2} \) является точкой минимума.

Ответ: \( -\frac{1}{2} \)

Задание 11.86

Пошаговое решение:

• Обозначим искомое положительное число за \( x \). Тогда сумма числа и обратного ему числа выражается функцией \( g(x) = x + \frac{1}{x} \).
• Найдем производную этой функции: \( g'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \).
• Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \), откуда \( x^2 = 1 \). Так как мы ищем положительное число, то \( x = 1 \).
• Найдем вторую производную: \( g''(x) = \frac{2}{x^3} \). Так как \( g''(1) = 2 > 0 \), то \( x = 1 \) является точкой минимума.

Ответ: 1