4. Найти дифференциал второго порядка функции y = xe⁻ˣ.

Смотри, тут все просто: дифференциал второго порядка функции — это вторая производная, умноженная на квадрат дифференциала независимой переменной.

Пошаговое решение:

1. Находим первую производную функции y = xe⁻ˣ, используя правило произведения: \(y' = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)\)
2. Находим вторую производную функции, снова используя правило произведения: \(y'' = (e^{-x}(1 - x))' = (e^{-x})'(1 - x) + e^{-x}(1 - x)' = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} = e^{-x}(x - 1 - 1) = e^{-x}(x - 2)\)
3. Дифференциал второго порядка функции: \(d^2y = y''(dx)^2 = e^{-x}(x - 2)(dx)^2\)

Ответ: \(d^2y = e^{-x}(x - 2)(dx)^2\)