Найти DK

Рассмотрим треугольник АВС. В нём ВD - высота, следовательно, треугольники ABD и CBD - прямоугольные.

Рассмотрим треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

$$AD^2 = AB^2 - BD^2$$

Рассмотрим треугольник CBD. Так как ВК = КС, то ВK - медиана, а так как ВК=КС=ВК, то треугольник CBD - прямоугольный, а ВК - медиана, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DK - медиана, проведённая из вершины прямого угла и равна половине гипотенузы, то есть ВК = КС = DK

По условию ВК = КС, следовательно, треугольник ВKС - равнобедренный. Так как ВК = КС, то углы при основании равны, то есть угол КВС = углу КСВ. Угол КВС = углу АВD (как вертикальные). Следовательно, угол АВD = углу КСВ.

Треугольники ABD и CBD - прямоугольные. Угол АВD = углу КСВ.

Следовательно, треугольники ABD и CBD подобны по двум углам.

Следовательно, \(\frac{AD}{BD} = \frac{BD}{DC}\)

$$BD^2 = AD \cdot DC$$

Пусть AD = х, тогда DC = х (так как BD - высота и медиана, следовательно, треугольник равнобедренный, АD = DC), то есть AD = DC = х

Тогда: $$BD^2 = x \cdot x = x^2$$

$$BD = \sqrt{x^2} = x$$

Рассмотрим треугольник ABD. $$AD^2 + BD^2 = AB^2$$

$$x^2 + x^2 = 13^2$$

$$2x^2 = 169$$

$$x^2 = \frac{169}{2} = 84,5$$

$$x = \sqrt{84,5}$$

Итак, AD = DC = BD = \(\sqrt{84,5}\)

Рассмотрим треугольник DKC. Он равнобедренный, значит, угол DKC = углу DCK.

Угол BDA = углу BDC = 90°

Угол BDA = углу BDK + углу KDA = 90°

Угол BDC = углу KDC + углу BDK = 90°

Угол KDA = углу KDC = 45°

$$DK = \sqrt{AD^2 + AK^2 - 2AD \cdot AK \cdot cos(45°)}$$

$$cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$DK = \sqrt{84,5 + 84,5 - 2 \cdot \sqrt{84,5} \cdot \sqrt{84,5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$DK = \sqrt{169 - 169 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$DK = \sqrt{169(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})}$$

$$DK = 13 \cdot \sqrt{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$DK = 13 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2})}$$

Ответ: $$13 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2})}$$