Найти длину отрезка AB, если радиус первой окружности R1 = 5, радиус второй окружности R2 = 7, а расстояние между центрами O1O2 = 13.

Решение:

Эта задача решается с помощью теоремы Пифагора, но нам нужно сначала построить вспомогательные элементы.

1. Представим задачу: У нас есть две окружности с центрами O1 и O2, радиусами R1 = 5 и R2 = 7 соответственно. Расстояние между центрами O1O2 = 13. Нам нужно найти длину отрезка AB, который является общей касательной к обеим окружностям.
2. Строим перпендикуляры: Из центра первой окружности O1 проводим перпендикуляр к касательной AB. Точка пересечения будет A, значит O1A — это радиус R1. Аналогично, из центра второй окружности O2 проводим перпендикуляр к касательной AB. Точка пересечения будет B, значит O2B — это радиус R2.
3. Проводим линию через O1: Через точку O1 проводим прямую, параллельную касательной AB.
4. Строим прямоугольник: Опускаем перпендикуляр из точки O2 на эту новую линию. Обозначим точку пересечения как C. Тогда O1C будет равно AB, а O2C будет равно разности радиусов R2 - R1 (так как O2B перпендикулярно AB, а O1A перпендикулярно AB, то O1O2CB - трапеция, и O1C параллельно AB).
5. Используем теорему Пифагора: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник O1CO2, где:
   • Гипотенуза O1O2 = 13 (расстояние между центрами).
   • Катет O2C = R2 - R1 = 7 - 5 = 2.
   • Катет O1C, который равен искомой длине AB.
   По теореме Пифагора: O1C2 + O2C2 = O1O22.
6. Вычисляем O1C:

O1C2 + 22 = 132

O1C2 + 4 = 169

O1C2 = 169 - 4

O1C2 = 165

O1C = \sqrt{165}

Так как AB = O1C, то AB = \sqrt{165}.

Ответ: \sqrt{165}