Найти длину отрезка AB на чертеже 7 и длину AC на чертеже 8.

Задача 7

Угол между хордой AB и радиусом OA равен 30°. OM = 6 – радиус окружности.

Рассмотрим треугольник \(\triangle AOM\). Он равнобедренный, так как OA = OM (радиусы). Значит, \(\angle OAM = \angle AMO = 30°\).

Тогда \(\angle AOM = 180° - 30° - 30° = 120°\).

Опустим перпендикуляр OK на AB. Тогда OK – биссектриса \(\angle AOM\), значит, \(\angle AOK = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).

В прямоугольном треугольнике \(\triangle AOK\): \(AO = 6\), \(\angle AOK = 60°\), тогда \(AK = AO \cdot sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)

Так как OK перпендикулярна AB, то AK = KB. Значит, \(AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

Ответ: \(AB = 6\sqrt{3}\)

Задача 8

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AMC\). \(\angle MAC = 30°\). \(AM = 10\) – гипотенуза.

Тогда \(AC = AM \cdot cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)

Ответ: \(AC = 5\sqrt{3}\)