Найти длины векторов AB, BC, CD, если даны точки A(6,3,3), B(-1,0,-2), C(3,1,1), D(0, 4, 5).

Решение:

Чтобы найти длину вектора, нужно использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \( |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \).

Для вектора \(\vec{AB}\):

\( \vec{AB} = B - A = (-1 - 6; 0 - 3; -2 - 3) = \{-7; -3; -5} \)

Длина вектора \(\vec{AB}\):

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83} \]

Для вектора \(\vec{BC}\):

\( \vec{BC} = C - B = (3 - (-1); 1 - 0; 1 - (-2)) = \{4; 1; 3} \)

Длина вектора \(\vec{BC}\):

\[ |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26} \]

Для вектора \(\vec{CD}\):

\( \vec{CD} = D - C = (0 - 3; 4 - 1; 5 - 1) = \{-3; 3; 4} \)

Длина вектора \(\vec{CD}\):

\[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 9 + 16} = \sqrt{34} \]

Ответ: Длина вектора \( \vec{AB} = \sqrt{83} \), длина вектора \( \vec{BC} = \sqrt{26} \), длина вектора \( \vec{CD} = \sqrt{34} \).