Найти длины векторов $$\vec{AB}$$, $$\vec{BC}$$, $$\vec{CD}$$

Решение:

Для нахождения длины вектора, нам нужно знать координаты его начальной и конечной точек. Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Даны точки: \( A(3; -2; 1) \), \( B(4; 2; 1) \), \( C(-1; -1; 1) \), \( D(3; 0; 1) \).

1. Вектор \(\vec{AB}\):
• Координаты вектора \(\vec{AB}\) = \( (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \) = \( (4 - 3; 2 - (-2); 1 - 1) \) = \( (1; 4; 0) \).
• Длина вектора \(\left|\vec{AB}\right|\) = \(\sqrt{1^2 + 4^2 + 0^2}\) = \(\sqrt{1 + 16 + 0}\) = \(\sqrt{17}\).
2. Вектор \(\vec{BC}\):
• Координаты вектора \(\vec{BC}\) = \( (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) \) = \( (-1 - 4; -1 - 2; 1 - 1) \) = \( (-5; -3; 0) \).
• Длина вектора \(\left|\vec{BC}\right|\) = \(\sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 0^2}\) = \(\sqrt{25 + 9 + 0}\) = \(\sqrt{34}\).
• Примечание: На изображении вектор записан как \(\vec{BC}\), но в задании, возможно, имелся в виду \(\vec{CB}\). Если бы было \(\vec{CB}\), то координаты были бы \((5; 3; 0)\) и длина осталась бы прежней: \(\sqrt{5^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{34}\).
3. Вектор \(\vec{CD}\):
• Координаты вектора \(\vec{CD}\) = \( (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) \) = \( (3 - (-1); 0 - (-1); 1 - 1) \) = \( (4; 1; 0) \).
• Длина вектора \(\left|\vec{CD}\right|\) = \(\sqrt{4^2 + 1^2 + 0^2}\) = \(\sqrt{16 + 1 + 0}\) = \(\sqrt{17}\).

Ответ: \(\left|\vec{AB}\right| = \sqrt{17}\), \(\left|\vec{BC}\right| = \sqrt{34}\), \(\left|\vec{CD}\right| = \sqrt{17}\).