Найти экстремумы функции: f(x) = x³ - x² - x + 2;

Пошаговое решение:

1. Мы уже нашли стационарные точки в предыдущем задании: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{3} \).
2. Находим вторую производную функции f(x):
   f''(x) = \( \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x - 1) \)
3. Вычисляем вторую производную:
   f''(x) = \( 6x - 2 \)
4. Проверяем знак второй производной в стационарных точках:
   • Для \( x_1 = 1 \):
   f''(1) = \( 6(1) - 2 = 6 - 2 = 4 \). Так как f''(1) > 0, в точке x = 1 находится локальный минимум.
5. Находим значение функции в точке минимума:
   f(1) = \( (1)^3 - (1)^2 - (1) + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 \)
6. • Для \( x_2 = -\frac{1}{3} \):
   f''(-\frac{1}{3}) = \( 6(-\frac{1}{3}) - 2 = -2 - 2 = -4 \). Так как f''(-\frac{1}{3}) < 0, в точке x = -1/3 находится локальный максимум.
7. Находим значение функции в точке максимума:
   f(-\frac{1}{3}) = \( (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + 2 \)
   f(-\frac{1}{3}) = \( -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 \)
   Приводим к общему знаменателю 27:
   f(-\frac{1}{3}) = \( -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + \frac{54}{27} = \frac{-1 - 3 + 9 + 54}{27} = \frac{59}{27} \)

Ответ: Локальный минимум функции равен 1 при x = 1. Локальный максимум функции равен 59/27 при x = -1/3.