НАЙТИ экстремумы функции: точки (min; max) y = 1/3 x^3 - 1/2 x^2 - 6x + 5

Решение:

Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем найти значения функции в этих точках.

1. Найдем производную функции \( y = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 \):
   \( y' = \left( \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 \right)' \)
   \( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 6 \)
   \( y' = x^2 - x - 6 \)
2. Приравняем производную к нулю:
   \( x^2 - x - 6 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета:
   \( x_1 + x_2 = 1 \)
   \( x_1 \cdot x_2 = -6 \)
   Корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -2 \).
4. Найдем значения функции в точках экстремума:
   Для \( x = 3 \):
   \( y(3) = \frac{1}{3} (3)^3 - \frac{1}{2} (3)^2 - 6(3) + 5 \)
   \( y(3) = \frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{2} \cdot 9 - 18 + 5 \)
   \( y(3) = 9 - 4.5 - 18 + 5 \)
   \( y(3) = -8.5 \)
   Для \( x = -2 \):
   \( y(-2) = \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 - 6(-2) + 5 \)
   \( y(-2) = \frac{1}{3} \cdot (-8) - \frac{1}{2} \cdot 4 + 12 + 5 \)
   \( y(-2) = -\frac{8}{3} - 2 + 12 + 5 \)
   \( y(-2) = -2.67 + 15 \)
   \( y(-2) = 12.33 \)

Ответ: Точка минимума (3; -8.5), точка максимума (-2; 12.33).