Найти градусную меру угла \( \angle ADC \)

Разбираемся:

Поскольку \( \angle BAC = 30° \), то градусная мера дуги \( BC \) равна \( 2 \cdot 30° = 60° \).

Угол \( \angle BEC \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( BC \), следовательно, \( \angle BEC = 60° \).

Треугольник \( \Delta BEO \) равнобедренный, так как \( BO = OE \) (радиусы окружности).

Тогда \( \angle OBE = \angle OEB = (180° - 60°) / 2 = 60° \). Следовательно, \( \Delta BEO \) – равносторонний, и \( BE = EO \).

Точка \( O \) – центр окружности, следовательно, \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30° = 60° \). Треугольник \( BOC \) – равнобедренный, так как \( BO = OC \) (радиусы окружности).

Тогда \( \angle OBC = \angle OCB = (180° - 60°) / 2 = 60° \). Следовательно, \( \Delta BOC \) – равносторонний, и \( BC = BO \).

По условию, \( BE = EC \), следовательно, \( OE \) – серединный перпендикуляр к стороне \( BC \) и \( AO \) – биссектриса угла \( \angle BAC \), следовательно, \( \angle BAO = \angle CAO = 30° / 2 = 15° \). Значит, \( \angle BOC = 60° \)

Так как \( \angle ADC \) — вписанный и опирается на дугу \( AC \), то \( \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC \). Угол \( \angle AOC = 30° + 30° = 60° \), следовательно, \( \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \)

Ответ: 30°