Найти х, у (О центр окружности).

1. 1

• Центральный угол \( \angle AOC \) равен 120°.
• Вписанный угол \( \angle ABC \) опирается на ту же дугу, что и центральный угол \( \angle AOC \).
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• \( x = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60° \)

Ответ: \( x = 60° \)

1. 2

• Дано: \( \angle ABC = 40° \)
• Нужно найти центральный угол \( x \), опирающийся на ту же дугу, что и \( \angle ABC \).
• Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
• \( x = 2 \cdot 40° = 80° \)

Ответ: \( x = 80° \)

1. 3

• По условию, O - центр окружности.
• Тогда \( \angle BOC \) - центральный угол, a \( \angle BAC \) - вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
• Центральный угол в два раза больше вписанного: \( \angle BOC = 2x \).
• Но этот факт не дает нам точного числового значения угла \( x \). Нужны дополнительные данные.

Ответ: недостаточно данных для нахождения \( x \)

1. 4

• \( \angle ABC = 40° \)
• \( \angle ADC \) – вписанный, опирается на дугу AC.
• Центр окружности O лежит на прямой AC. \( \angle ADC \) - прямой, так как опирается на диаметр.
• \( \angle ADC = 90° \)
• В треугольнике \( \Delta ADC \) сумма углов равна 180°.
• \( x = 180° - 90° - 40° = 50° \)

Ответ: \( x = 50° \)

1. 5

• \( \angle ABC = 110° \)
• Четырехугольник \( ABCDA \) является вписанным в окружность.
• Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.
• \( \angle ABC + \angle ADC = 180° \)
• \( \angle ADC = 180° - 110° = 70° \)
• \( x = \angle ADC = 70° \)

Ответ: \( x = 70° \)

1. 6

• \( \angle ACB = 30° \)
• \( \angle AOB \) – центральный, опирается на дугу AB.
• \( \angle ACB \) – вписанный, опирается на дугу AB.
• Центральный угол в два раза больше вписанного.
• \( \angle AOB = 2 \cdot 30° = 60° \)
• Треугольник \( \Delta AOB \) равнобедренный (OA = OB = радиус).
• Значит, \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 60°}{2} = 60° \)
• \( \Delta AOB \) – равносторонний.
• \( \angle AOB + \angle ACB + x = 360° \) (сумма углов четырехугольника равна 360°)
• \( x = 360° - 60° - 30° - 90° = 180° \)

Ответ: \( x = 180° \)

1. 7

• \( \angle ABD = 30° \)
• \( \angle ACD = x \)
• Оба угла \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на одну и ту же дугу AD.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• \( x = 30° \)

Ответ: \( x = 30° \)

1. 8

• \( \angle ACB = 30° \)
• \( \angle ADB = x \)
• Оба угла \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \) опираются на одну и ту же дугу AB.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• \( x = 30° \)

Ответ: \( x = 30° \)

1. 9

• \( \angle DBC = 35° \)
• \( \angle DAC = x \)
• Оба угла \( \angle DBC \) и \( \angle DAC \) опираются на одну и ту же дугу DC.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• \( x = 35° \)

Ответ: \( x = 35° \)

1. 10

• \( \angle BAC = 25° \)
• O - центр окружности. Следовательно, \( \angle BOC = 2*\angle BAC \) (центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу).
• \( \angle BOC = 2*25° = 50° \)
• Треугольник \( \Delta BOC \) равнобедренный, так как OB = OC = радиус.
• \( \angle OBC = \angle OCB = y \)
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( 50° + y + y = 180° \)
• \( 2y = 180° - 50° = 130° \)
• \( y = \frac{130°}{2} = 65° \)
• Рассмотрим треугольник \( \Delta ABC \). Сумма углов в нем равна 180°.
• \( \angle ABC = y \), \( \angle BAC = 25° \), \( \angle ACB = x \).
• \( 25° + 65° + x = 180° \)
• \( 90° + x = 180° \)
• \( x = 180° - 90° = 90° \)

Ответ: \( x = 90° \), \( y = 65° \)

1. 11

• \( \angle CBD = 40° \)
• \( \angle CAD = x \)
• Оба угла \( \angle CBD \) и \( \angle CAD \) опираются на одну и ту же дугу CD.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• \( x = 40° \)

Ответ: \( x = 40° \)

1. 12

• \( \angle CBD = 50° \)
• \( \angle CDK = 20° \)
• \( \angle BCK = 180° - \angle CDK = 180° - 20° = 160° \) (смежные углы)
• Четырехугольник BCDA вписан в окружность.
• Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°.
• \( \angle BAC + \angle BCK = 180° \)
• \( \angle BAC = 180° - 160° = 20° \)
• \( x + 50° + 20° = 180° \) (сумма углов треугольника ABC равна 180°)
• \( x = 180° - 50° - 20° = 110° \)

Ответ: \( x = 110° \)