Найти интеграл \( \int \frac{x}{e^x} dx \).

Решение:

Для нахождения интеграла \( \int \frac{x}{e^x} dx \) воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).

Пусть \( u = x \) и \( dv = \frac{1}{e^x} dx = e^{-x} dx \).

Тогда \( du = dx \) и \( v = \int e^{-x} dx = -e^{-x} \).

Подставляем в формулу:

\[ \int \frac{x}{e^x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx \]\[ = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx \]\[ = -xe^{-x} - e^{-x} + C \]\[ = -e^{-x}(x+1) + C \]\[ = -\frac{x+1}{e^x} + C \]

Ответ: -\(\frac{x+1}{e^x}\) + C