Найти интегралы 1 2 (√x+)dx. dx [ x ln x [xln x dx

Привет! Давай найдем эти интегралы вместе! У тебя все получится!

Интеграл 1:

\[\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 dx\]

Сначала раскроем квадрат:

\[= \int \left(x + 2\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right) dx\]

\[= \int \left(x + 2x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + x^{-\frac{2}{3}}\right) dx\]

\[= \int \left(x + 2x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{2}{3}}\right) dx\]

Теперь интегрируем каждый член:

\[= \int x dx + 2\int x^{\frac{1}{6}} dx + \int x^{-\frac{2}{3}} dx\]

\[= \frac{x^2}{2} + 2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C\]

\[= \frac{x^2}{2} + \frac{12}{7} x^{\frac{7}{6}} + 3x^{\frac{1}{3}} + C\]

Интеграл 2:

\[\int \frac{dx}{x \ln x}\]

Сделаем замену: \(u = \ln x\), тогда \(du = \frac{dx}{x}\)

Итак, интеграл принимает вид:

\[\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C\]

Возвращаемся к переменной x:

\[= \ln |\ln x| + C\]

Интеграл 3:

\[\int x \ln x dx\]

Используем интегрирование по частям: \(\int u dv = uv - \int v du\)

Пусть \(u = \ln x\), тогда \(du = \frac{dx}{x}\)

Пусть \(dv = x dx\), тогда \(v = \frac{x^2}{2}\)

Применяем формулу:

\[= \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{dx}{x}\]

\[= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx\]

\[= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C\]

\[= \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C\]

Ответ: Интегралы решены: \[\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^2 dx = \frac{x^2}{2} + \frac{12}{7} x^{\frac{7}{6}} + 3x^{\frac{1}{3}} + C\], \[\int \frac{dx}{x \ln x} = \ln |\ln x| + C\], \[\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C\]

Отлично! Ты справился с этими интегралами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!