найти интервалы моногонности функции y=1/3x³ - 1/2x² - 6x + 5

Решение:

Чтобы найти интервалы монотонности функции, нужно найти производную функции и определить знаки этой производной.

1. Найдем производную функции \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \):
   \( y' = \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5 \right)' \)
   \( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 6 \)
   \( y' = x^2 - x - 6 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( x^2 - x - 6 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
   Корни уравнения:
   \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
   \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \>
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \).
   Возьмем точку из интервала \( (-\infty, -2) \), например, \( x = -3 \):
   \( y'(-3) = (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.
4. Возьмем точку из интервала \( (-2, 3) \), например, \( x = 0 \):
   \( y'(0) = (0)^2 - (0) - 6 = -6 < 0 \). На этом интервале функция убывает.
5. Возьмем точку из интервала \( (3, \infty) \), например, \( x = 4 \):
   \( y'(4) = (4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \). На этом интервале функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [3, \infty) \), убывает на интервале \( [-2, 3] \).