Найти коэффициент k, если в разложении выражения \(\frac{4}{3}t^5+\ldots\) соответствующий член имеет вид \(\frac{8}{3}t^5k^2+\ldots\).

Коэффициент при \(t^5\) в исходном выражении равен \(\frac{4}{3}\). По условию после преобразования он равен \(\frac{8}{3}k^2\), поэтому

\[\frac{8}{3}k^2=\frac{4}{3}.\]

Умножим обе части на \(\frac{3}{8}\):

\[k^2=\frac{1}{2}.\]

Следовательно,

\[k=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Ответ: \(k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\).