Найти количество пятизначных чисел, составленных из цифр 0,1,2,3,4,5,7,9 при условии, что число должно начинаться не с цифр 4 и 5 и должно быть четным, а цифры не повторяются.

Решение:

Нужно найти количество пятизначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, при следующих условиях:

1. Число пятизначное.
2. Используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9. Всего 8 цифр.
3. Число не начинается с 4 и 5.
4. Число должно быть четным.
5. Цифры в числе не повторяются.

Рассмотрим возможные случаи для последней цифры (четное число).

Случай 1: Последняя цифра — 0.

Последняя цифра — 0 (1 вариант).

Первая цифра не может быть 0 (уже использовано) и не может быть 4 или 5 (по условию). Остается 8 - 1 (0) - 2 (4, 5) = 5 вариантов для первой цифры.

Осталось 6 цифр (8 - 2 использованных). Для второй, третьей и четвертой цифр есть \( 6 \times 5 \times 4 \) вариантов.

Количество чисел в этом случае: \( 5 \times 6 \times 5 \times 4 \times 1 = 600 \).

Случай 2: Последняя цифра — 2.

Последняя цифра — 2 (1 вариант).

Первая цифра не может быть 0, 4, 5 и 2 (уже использовано). Остается 8 - 1 (2) - 3 (0, 4, 5) = 4 варианта для первой цифры.

Осталось 6 цифр (8 - 2 использованных). Для второй, третьей и четвертой цифр есть \( 6 \times 5 \times 4 \) вариантов.

Количество чисел в этом случае: \( 4 \times 6 \times 5 \times 4 \times 1 = 384 \).

Случай 3: Последняя цифра — 4.

Последняя цифра — 4 (1 вариант).

Первая цифра не может быть 0, 4, 5. Но 4 уже использовано как последняя цифра. Значит, первая цифра не может быть 0, 5. Остается 8 - 1 (4) - 2 (0, 5) = 5 вариантов для первой цифры.

Осталось 6 цифр. Для второй, третьей и четвертой цифр есть \( 6 \times 5 \times 4 \) вариантов.

Количество чисел в этом случае: \( 5 \times 6 \times 5 \times 4 \times 1 = 600 \).

Случай 4: Последняя цифра — 6 (если 6 есть в наборе цифр, но его нет).

Случай 5: Последняя цифра — 8 (если 8 есть в наборе цифр, но его нет).

В заданном наборе цифр (0,1,2,3,4,5,7,9) четными являются 0, 2, 4.

Проверим еще раз расчеты для четных цифр.

Повторим для четных цифр 0, 2, 4:

1. Последняя цифра — 0 (1 способ).

Первая цифра: не 0, не 4, не 5. Всего 8 цифр. 8 - 1 (0) - 2 (4, 5) = 5 способов.

Осталось 6 цифр. Средние 3 цифры: \( P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \) способов.

Всего: \( 5 \times 120 \times 1 = 600 \) чисел.

2. Последняя цифра — 2 (1 способ).

Первая цифра: не 0, не 4, не 5, не 2. Всего 8 цифр. 8 - 1 (2) - 3 (0, 4, 5) = 4 способа.

Осталось 6 цифр. Средние 3 цифры: \( P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \) способов.

Всего: \( 4 \times 120 \times 1 = 480 \) чисел.

3. Последняя цифра — 4 (1 способ).

Первая цифра: не 0, не 4, не 5. Всего 8 цифр. 4 уже использовано. 8 - 1 (4) - 2 (0, 5) = 5 способов.

Осталось 6 цифр. Средние 3 цифры: \( P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \) способов.

Всего: \( 5 \times 120 \times 1 = 600 \) чисел.

4. Последняя цифра — 7 (нечетная).

5. Последняя цифра — 9 (нечетная).

Итого: Суммируем все случаи.

Общее количество чисел = (Числа, оканчивающиеся на 0) + (Числа, оканчивающиеся на 2) + (Числа, оканчивающиеся на 4).

Общее количество = \( 600 + 480 + 600 = 1680 \).

Проверим еще раз.

Всего цифр: 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9).

Число пятизначное, цифры не повторяются.

Условие 1: не начинается с 4 и 5.

Условие 2: четное (последняя цифра 0, 2, 4).

Вариант А: Последняя цифра 0.

1-я цифра: не 0, не 4, не 5. Остается 5 вариантов (1, 2, 3, 7, 9).

2-я, 3-я, 4-я цифры: из оставшихся 6 цифр. \( P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \).

Количество чисел: \( 5 \times 120 \times 1 = 600 \).

Вариант Б: Последняя цифра 2.

1-я цифра: не 0, не 4, не 5, не 2. Остается 4 варианта (1, 3, 7, 9).

2-я, 3-я, 4-я цифры: из оставшихся 6 цифр. \( P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \).

Количество чисел: \( 4 \times 120 \times 1 = 480 \).

Вариант В: Последняя цифра 4.

1-я цифра: не 0, не 4, не 5. Остается 5 вариантов (1, 2, 3, 7, 9).

2-я, 3-я, 4-я цифры: из оставшихся 6 цифр. \( P(6,3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \).

Количество чисел: \( 5 \times 120 \times 1 = 600 \).

Общее количество чисел: \( 600 + 480 + 600 = 1680 \).

Ответ: 1680