Найти координаты дополнительных точек и построить график y = 1/3 x³ - 1/2 x² - 6x + 5

Решение:

Задана функция \( y = \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 \). Для построения графика найдём её производную, критические точки и интервалы возрастания/убывания.

1. Находим производную:
   \( y' = \left( \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x - 6 = x^2 - x - 6 \)
2. Находим критические точки:
   Приравниваем производную к нулю:
   \( x^2 - x - 6 = 0 \)
   Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)
   \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)
   \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
3. Определяем интервалы возрастания и убывания:
   Производная \( y' = x^2 - x - 6 \) — парабола ветвями вверх. Она положительна при \( x < -2 \) и \( x > 3 \) (функция возрастает), и отрицательна при \( -2 < x < 3 \) (функция убывает).
4. Находим точки экстремума:
   При \( x = -2 \) — локальный максимум.
   \( y(-2) = \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 - 6(-2) + 5 = \frac{1}{3}(-8) - \frac{1}{2}(4) + 12 + 5 = -\frac{8}{3} - 2 + 17 = 15 - \frac{8}{3} = \frac{45-8}{3} = \frac{37}{3} \approx 12.33 \)
5. При \( x = 3 \) — локальный минимум.
   \( y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 - 6(3) + 5 = \frac{1}{3}(27) - \frac{1}{2}(9) - 18 + 5 = 9 - \frac{9}{2} - 13 = -4 - \frac{9}{2} = \frac{-8-9}{2} = -\frac{17}{2} = -8.5 \)
6. Находим точки пересечения с осями:
   С осью Oy (при \( x=0 \)):
   \( y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2 - 6(0) + 5 = 5 \). Точка (0, 5).
7. С осью Ox (при \( y=0 \)):
   \( \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5 = 0 \). Это кубическое уравнение, его корни найти сложно. Проверим целые делители свободного члена (±1, ±5).
   \( y(1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + 5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{2 - 3 - 6}{6} = -\frac{7}{6} \)
8. Дополнительные точки для построения графика:
   Возьмем значения x рядом с экстремумами и нулями производной.
   При \( x = -3 \): \( y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 - \frac{1}{2}(-3)^2 - 6(-3) + 5 = \frac{1}{3}(-27) - \frac{1}{2}(9) + 18 + 5 = -9 - 4.5 + 23 = 9.5 \)
9. При \( x = -1 \): \( y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6 + 5 = 11 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = 11 - \frac{2+3}{6} = 11 - \frac{5}{6} = 10\frac{1}{6} \approx 10.17 \)
10. При \( x = 1 \): \( y(1) = -\frac{7}{6} \approx -1.17 \)
11. При \( x = 2 \): \( y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 - 6(2) + 5 = \frac{8}{3} - 2 - 12 + 5 = \frac{8}{3} - 9 = \frac{8-27}{3} = -\frac{19}{3} \approx -6.33 \)
12. При \( x = 4 \): \( y(4) = \frac{1}{3}(4)^3 - \frac{1}{2}(4)^2 - 6(4) + 5 = \frac{64}{3} - 8 - 24 + 5 = \frac{64}{3} - 27 = \frac{64 - 81}{3} = -\frac{17}{3} \approx -5.67 \)
13. При \( x = 5 \): \( y(5) = \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{1}{2}(5)^2 - 6(5) + 5 = \frac{125}{3} - \frac{25}{2} - 30 + 5 = \frac{125}{3} - \frac{25}{2} - 25 = \frac{250 - 75 - 150}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17 \)

Основные точки для построения графика:

• Максимум: \( (-2, \frac{37}{3}) \)
• Минимум: \( (3, -\frac{17}{2}) \)
• Пересечение с Oy: \( (0, 5) \)
• Дополнительные точки: \( (-3, 9.5), (-1, 10.17), (1, -1.17), (2, -6.33), (4, -5.67), (5, 4.17) \)

Ответ: Координаты точек экстремума: \( (-2, \frac{37}{3}) \) (максимум) и \( (3, -\frac{17}{2}) \) (минимум). График построен по найденным точкам.