1. Найти координаты и длину вектора с началом в точке А(2;-4;8) и концом в точке В (-3;5;4). 2. Докажите тождество: - tg a = cos 2a * tg a 3. Вычислите значение выражений: a) cos 2 б) sin (2t - 21π) в) cos 135 *cos 105 4. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см 34 см. высота 32 см. Через большее основани проведена плоскость а, образующая с высото трапеции угол в 60°. Определить проекцию боково стороны трапеции на плоскость а. 5.Найти объём цилиндра, радиус основания которого 4 см а площадь осевого сечения 20 см². 6. Дано: АВ – перпендикуляр, AC = AD – наклонные, ∠ ABC = 60, AC = 4, BD=√13

Привет! Разберёмся с этими задачками вместе! 1. Находим координаты и длину вектора: * Чтобы найти координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), нужно вычесть координаты начала вектора из координат конца вектора: \[\overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 2; 5 - (-4); 4 - 8) = (-5; 9; -4)\] * Длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) вычисляется по формуле: \[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-5)^2 + 9^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 81 + 16} = \sqrt{122}\] * Итого: * Координаты вектора: \((-5; 9; -4)\) * Длина вектора: \(\sqrt{122}\) 2. Доказываем тождество: * Нам нужно доказать, что \(-tg \alpha = cos 2\alpha * tg \alpha\). * В левой части стоит минус тангенс, значит, нужно убедиться, что правая часть тоже будет отрицательной. Вспоминаем формулу двойного угла: cos 2α = cos²α - sin²α * Попробуем преобразовать правую часть: \[cos 2\alpha * tg \alpha = (cos^2 \alpha - sin^2 \alpha) * \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{(cos^2 \alpha - sin^2 \alpha) * sin \alpha}{cos \alpha}\] * Дальше можно раскрыть скобки и посмотреть, что получится. Но я бы попробовала другой способ: рассмотреть частный случай, когда \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) (45 градусов). * Тогда \(tg \alpha = 1\), \(cos 2\alpha = cos \frac{\pi}{2} = 0\). Подставляем в исходное уравнение: \(-1 = 0 * 1\), то есть \(-1 = 0\), что, конечно, неверно. * Вывод: исходное тождество неверно. 3. Вычисляем значения выражений: * a) \(cos 2\) * Здесь аргумент 2 – это 2 радиана. Чтобы вычислить это значение, нужен калькулятор или таблица. \(cos 2 \approx -0.416\). * б) \(sin (2t - 21\pi)\) * Учитываем, что период синуса равен \(2\pi\). Значит, можно убрать все полные обороты, то есть \(21\pi = 10 * 2\pi + \pi\). * Получается: \[sin (2t - 21\pi) = sin (2t - \pi) = -sin (\pi - 2t) = -sin 2t\] * в) \(cos 135° * cos 105°\) * Используем формулы приведения и формулу для произведения косинусов: \[cos 135° = cos (90° + 45°) = -sin 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° * cos 45° - sin 60° * sin 45° = \frac{1}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} * \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\] * Теперь перемножаем: \[cos 135° * cos 105° = -\frac{\sqrt{2}}{2} * \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{6})}{8} = \frac{-2 + \sqrt{12}}{8} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{8} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{4}\] 4. Про равнобедренную трапецию: * Основания: 10 см и 34 см. Высота: 32 см. Плоскость образует с высотой угол 60 градусов. Нужно найти проекцию боковой стороны на плоскость. * Сначала найдём длину боковой стороны. Так как трапеция равнобедренная, то проекции боковых сторон на большее основание равны: \(\frac{34 - 10}{2} = 12\) см. * По теореме Пифагора, боковая сторона равна: \(\sqrt{32^2 + 12^2} = \sqrt{1024 + 144} = \sqrt{1168} = 4\sqrt{73}\) см. * Пусть \(l\) - длина боковой стороны, а \(l'\) - её проекция на плоскость. Угол между боковой стороной и её проекцией равен 60°. Тогда: \[l' = l * cos 60° = 4\sqrt{73} * \frac{1}{2} = 2\sqrt{73}\] * Проекция боковой стороны равна \(2\sqrt{73}\) см. 5. Объём цилиндра: * Радиус основания \(r = 4\) см, площадь осевого сечения \(S = 20\) см². * Площадь осевого сечения цилиндра - это прямоугольник со сторонами \(2r\) (диаметр основания) и \(h\) (высота цилиндра). Значит, \(2r * h = S\), следовательно, \(2 * 4 * h = 20\), откуда \(h = \frac{20}{8} = 2.5\) см. * Объём цилиндра равен: \(V = \pi r^2 h = \pi * 4^2 * 2.5 = \pi * 16 * 2.5 = 40\pi\) см³. 6. Про треугольники: * Дано: AB перпендикулярно AC, AC = AD = 4, BD = \(\sqrt{13}\), угол ABC = 60°. * В треугольнике ABC: \(tg 60° = \frac{AC}{AB}\), значит \(AB = \frac{AC}{tg 60°} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\). * В треугольнике ABD по теореме Пифагора: \(AD^2 = AB^2 + BD^2\). Подставляем известные значения: \[AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{\frac{16 * 3}{9} + 13} = \sqrt{\frac{16}{3} + 13} = \sqrt{\frac{16 + 39}{3}} = \sqrt{\frac{55}{3}}\] * Так как по условию AC = AD = 4, то \(AD = \sqrt{\frac{55}{3}} = 4\) - не выполняется. * Возможно, нужно было найти что-то другое? Или есть ошибка в условии? Если есть еще вопросы, я всегда готова помочь!