Найти корни характеристического уравнения для уравнения y''+6y'+8y=8

Привет! Давай разберемся с этим заданием вместе.

Смотри, у нас есть дифференциальное уравнение: y'' + 6y' + 8y = 8.

Чтобы найти корни характеристического уравнения, нам нужно сначала перейти к однородному уравнению, то есть взять ту часть, где есть производные: y'' + 6y' + 8y = 0.

Теперь составляем характеристическое уравнение. Для этого заменим:

• y'' на λ²
• y' на λ
• y на 1

Получаем такое уравнение: λ² + 6λ + 8 = 0.

Это обычное квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Давай используем теорему Виета, так будет быстрее:

• Сумма корней: λ₁ + λ₂ = -6
• Произведение корней: λ₁ * λ₂ = 8

Подбираем числа, которые в сумме дают -6, а в произведении 8. Это числа -2 и -4.

Проверим:

• -2 + (-4) = -6 (Верно!)
• -2 * (-4) = 8 (Верно!)

Значит, корни нашего характеристического уравнения: λ₁ = -2 и λ₂ = -4.

Смотрим на варианты ответов, и видим, что это Ответ 2.

Ответ: 2. λ₁ = −2 ; λ₂ = -4