1 Найти корни уравнения: 1)x4- 24x²- 25=0 2) (x²-2)² + 16(x²-2) -161=0

Привет! Разбираемся с уравнениями!

Решение:

1) x⁴ - 24x² - 25 = 0

• Замена переменной: Пусть \( t = x^2 \), тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 24t - 25 = 0 \]

• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676 \]

• Находим корни:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{24 + 26}{2} = 25 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{24 - 26}{2} = -1 \]

• Возвращаемся к замене:

\[ x^2 = 25 \] или \( x^2 = -1 \)

Отсюда:

\[ x = \pm 5 \]

\[ x^2 = -1 \] не имеет действительных решений.

Ответ: x = ±5

2) (x² - 2)² + 16(x² - 2) - 161 = 0

• Замена переменной: Пусть \( t = x^2 - 2 \), тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 + 16t - 161 = 0 \]

• Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (16)^2 - 4(1)(-161) = 256 + 644 = 900 \]

• Находим корни:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-16 + 30}{2} = 7 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-16 - 30}{2} = -23 \]

• Возвращаемся к замене:

\[ x^2 - 2 = 7 \] или \( x^2 - 2 = -23 \)

Отсюда:

\[ x^2 = 9 \] или \( x^2 = -21 \)

\[ x = \pm 3 \]

\[ x^2 = -21 \] не имеет действительных решений.

Ответ: x = ±3