Найти lim xn, если: xn = √n²+1+√n / ³√n³+n+n

Решение:

Чтобы найти предел последовательности, когда n стремится к бесконечности, мы должны определить главные члены (члены с наибольшей степенью) в числителе и знаменателе.

1. Анализ числителя:

   В числителе у нас есть √n² + 1 + √n. Наибольшую степень имеет √n², что эквивалентно n. Член 1 и √n имеют меньшую степень, поэтому при n → ∞ они становятся незначительными по сравнению с n.

2. Анализ знаменателя:

   В знаменателе у нас есть ³√n³ + n + n. Наибольшую степень имеет ³√n³, что эквивалентно n. Члены n и n имеют такую же степень, поэтому их также нужно учитывать.

3. Выделение главных членов:

   Мы можем переписать выражение, вынося главные члены:

   • Числитель: √n²(1 + 1/n² + 1/n^(3/2)) ≈ √n² = n
   • Знаменатель: ³√n³(1 + n/n³ + n/n³) = ³√n³(1 + 1/n² + 1/n²) ≈ ³√n³ = n
4. Расчет предела:

   Теперь мы можем подставить упрощенные выражения обратно в предел:

   lim (n / n) при n → ∞

   Это равно:

   lim 1 при n → ∞ = 1

Ответ: 1