938 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: 1) f (x) = x⁴ - 8х² + 5 на отрезке [-3; 2];

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\] \[f'(x) = 4x^3 - 16x\]

• Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

\[4x^3 - 16x = 0\] \[4x(x^2 - 4) = 0\] \[4x(x - 2)(x + 2) = 0\] Критические точки: x = 0, x = 2, x = -2.

• Шаг 3: Проверяем, какие критические точки лежат в заданном отрезке [-3; 2]:

Все три критические точки (0, 2, -2) лежат в отрезке [-3; 2].

• Шаг 4: Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

\(f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14\) \(f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11\) \(f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5\) \(f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11\)

• Шаг 5: Вычисляем значение функции на другом конце отрезка:

\(f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11\)

• Шаг 6: Сравниваем полученные значения и определяем наибольшее и наименьшее:

Максимальное значение: 14 (при x = -3) Минимальное значение: -11 (при x = -2 и x = 2)

• Шаг 7: Оформляем окончательный ответ с учетом всех вычислений:

Значение функции в точке -3: \( f(-3) = 14 \) Давайте проверим значение в точке -3: \(f(-3) = (-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8 \cdot 9 + 5 = 81 - 72 + 5 = 9 + 5 = 14\) Теперь найдем значение функции в точке 3: \(f(3) = (3)^4 - 8(3)^2 + 5 = 81 - 8 \cdot 9 + 5 = 81 - 72 + 5 = 9 + 5 = 14\) Максимальное значение: 14 при x = -3 и x = 3. Минимальное значение: -11 при x = -2 и x = 2 Таким образом, проверив все значения, мы видим, что максимальное значение равно 14, а минимальное значение равно -11.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 14, наименьшее значение функции равно -11.