Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке f(x) = x³ + 4x² - 7, [-2; 2]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 7 \) на отрезке \( [-2; 2] \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = 3x^2 + 8x \).
2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки: \( 3x^2 + 8x = 0 \) \( x(3x + 8) = 0 \) \( x_1 = 0 \) или \( x_2 = -8/3 \).
3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку \( [-2; 2] \). \( x_1 = 0 \) принадлежит отрезку. \( x_2 = -8/3 \approx -2.67 \) не принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
   • При \( x = -2 \): \( f(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 - 7 = -8 + 4(4) - 7 = -8 + 16 - 7 = 1 \)
   • При \( x = 0 \): \( f(0) = (0)^3 + 4(0)^2 - 7 = 0 + 0 - 7 = -7 \)
   • При \( x = 2 \): \( f(2) = (2)^3 + 4(2)^2 - 7 = 8 + 4(4) - 7 = 8 + 16 - 7 = 17 \)
5. Сравним полученные значения: \( 1, -7, 17 \). Наибольшее значение — 17, наименьшее — -7.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 17, наименьшее значение равно -7.