171-180. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a,b]. 4 y=3-x- x∈ [-1,2]. (x+2)²'

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (то есть точки, где производная равна нулю или не существует).
3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных.

1. Находим производную функции:

$$y = 3 - x - \frac{4}{(x+2)^2}$$ $$y' = -1 - 4 \cdot (-2) \cdot (x+2)^{-3} = -1 + \frac{8}{(x+2)^3}$$

2. Находим критические точки:

$$y' = 0 \Rightarrow -1 + \frac{8}{(x+2)^3} = 0$$ $$\frac{8}{(x+2)^3} = 1$$ $$(x+2)^3 = 8$$ $$x+2 = 2$$ $$x = 0$$

Производная существует на всей области определения функции, кроме x = -2. Однако, эта точка не входит в рассматриваемый отрезок [-1, 2].

3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• В критической точке x = 0:

$$y(0) = 3 - 0 - \frac{4}{(0+2)^2} = 3 - \frac{4}{4} = 3 - 1 = 2$$

• На концах отрезка:

$$y(-1) = 3 - (-1) - \frac{4}{(-1+2)^2} = 3 + 1 - \frac{4}{1} = 4 - 4 = 0$$ $$y(2) = 3 - 2 - \frac{4}{(2+2)^2} = 1 - \frac{4}{16} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$$

4. Сравниваем значения:

• y(0) = 2
• y(-1) = 0
• y(2) = 0.75

Наибольшее значение: 2

Наименьшее значение: 0

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-1, 2] равно 2, наименьшее значение равно 0.