2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций у = f(x) на заданном отрезке. y=(x³-3x² + 4), [1, 4].

Рассмотрим функцию y = \(\frac{1}{4}(x^3 - 3x^2 + 4)\) на отрезке [1; 4].

1. Найдем производную функции:

\[y' = \frac{1}{4}(3x^2 - 6x) = \frac{3}{4}x(x - 2)\]

2. Приравняем производную к нулю:

\[\frac{3}{4}x(x - 2) = 0\]

Значит, x = 0 или x = 2

x = 0 не принадлежит отрезку [1; 4], поэтому рассмотрим x = 2

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

При x = 1:

\[y(1) = \frac{1}{4}(1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4) = \frac{1}{4}(1 - 3 + 4) = \frac{1}{4}(2) = \frac{1}{2}\]

При x = 2:

\[y(2) = \frac{1}{4}(2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4) = \frac{1}{4}(8 - 12 + 4) = \frac{1}{4}(0) = 0\]

При x = 4:

\[y(4) = \frac{1}{4}(4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4) = \frac{1}{4}(64 - 48 + 4) = \frac{1}{4}(20) = 5\]

4. Сравним полученные значения:

Наибольшее значение: y = 5 при x = 4

Наименьшее значение: y = 0 при x = 2

Ответ: Наибольшее значение: 5, наименьшее значение: 0

Проверка за 10 секунд: Нашли производную, нашли нули, вычислили значения в критических точках и на концах отрезка, выбрали максимум и минимум.

Доп. профит: Можно использовать вторую производную для определения характера критических точек (максимум или минимум).